反函數的定義：壹般來說，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到壹個函數g(y)在每壹處g(y)都等於x，這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作x=f-1(y) 。
壹、反函數簡介
反函數x=f?-1(y)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數就是對數函數與指數函數。壹般地，如果x與y關於某種對應關系f(x)相對應，y=f(x)，則y=f(x)的反函數為x=f-1(y)。存在反函數（默認為單值函數）的條件是原函數必須是壹壹對應的。
壹函數f若要是壹明確的反函數，它必須是壹雙射函數，即：（單射）陪域上的每壹元素都必須只被f映射到壹次：不然其反函數必將元素映射到超過壹個的值上去。（滿射）陪域上的每壹元素都必須被f映射到：不然將沒有辦法對某些元素定義f的反函數。
二、反函數性質
函數存在反函數的充要條件是，函數的定義域與值域是壹壹映射；壹個函數與它的反函數在相應區間上單調性壹致；壹段連續的函數的單調性在對應區間內具有壹致性；嚴增（減）的函數壹定有嚴格增（減）的反函數。
反函數的存在和反函數的對稱性：
1、反函數的存在
大部分偶函數不存在反函數（當函數y=f(x)，定義域是{0}且 f(x)=C（其中C是常數），則函數f(x)是偶函數且有反函數，其反函數的定義域是{C}，值域為{0}）。奇函數不壹定存在反函數，被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數。
若壹個奇函數存在反函數，則它的反函數也是奇函數。反函數是相互的且具有唯壹性；互為反函數的兩個函數在各自定義域內有相同的單調性。單調函數壹定有反函數，如二次函數在R內不是反函數，但在其單調增（減）的定義域內，可以求反函數。
2、反函數的對稱性
反比例函數當X的取值互為相反數時，對應的Y值也互為相反數。所以，反比例函數圖象上的點關於坐標原點對稱，所以，它的圖象的對稱軸是：如果圖象在壹、三象限，則對稱軸為二、四象限的角平分線Y=-X，如果圖象在二、四象限，則對稱軸為壹、三象限的角平分線Y=X。