在非空集合R中，若定義了兩種代數運算+和（不壹定為加與乘），且滿足：
Axiom1:集合R在+運算下構成阿貝爾群(Abel group).
Axiom2:關於有結合律，即，.R對構成壹個半群。
Axiom3:分配律與結合律對成立，即，有：
稱代數系統是壹個環(Ring)。在不引起混淆的情況下，簡記為.
上加法群的單位元稱為零元，記為0，且對有.
若只滿足Axiom1和Axiom3，而不滿足Axiom2的結合律，則R稱為壹個非結合環。此時R中就有唯壹的零元素θ，使得對α∈R恒有α+θ=α；R中每個α有唯壹的負元素-α，使α+（-α）=θ，可簡記α+（-b）為α-b。分配律可推廣為：α（b±с）=αb±αс，（b±с）α=bα±сα；用數學歸納法可證：
在非結合環R中恒有：αθ=θα=θ；α（-b）=（-α）b=-αb；（-α）（-b）=αb；（nα）b=α（nb）=nαb，其中α、b為R中任意元素，n為任意整數。
如果非結合環R還具有性質：α2=θ（α∈R），且雅可比恒等式成立，即在R中恒有（αb）с+（bс）α+（сα）b=θ，那麽R稱為壹個Lie環。
如果非結合環R的乘法適合交換律，且在R中恒有：（αα）b，α=（αα）（bα），那麽R稱為壹個若爾當環。
在非結合環的研究中，李環與若爾當環是內容最豐富的兩個分支。如果非結合環R的乘法適合結合律，那麽R稱為壹個結合環或環。如果在環R中再規定如下的壹個新乘法“。”（稱為換位運算）：α。b=αb-bα，那麽R對原來的加法與新有的乘法是壹個李環；若規定的新乘法為“·”（稱為對稱運算）：α·b=αb+bα，則R便成壹個若爾當環。
設S是非結合環R的壹個非空子集，若對於R的加法與乘法，S也構成壹個非結合環，則S稱為R的壹個子環。壹個真正的非結合環（即其中有三個元素在相乘時不適合結合律）的壹個子環，有可能是壹個結合環。非結合環R的若幹個子環的交，仍是R的壹個子環。當T為R的壹個非空子集時，R中所有含T的子環的交顯然是R中含T的最小子環，稱之為R的由T生成的子環。如果非結合環R中任意三個元素生成的子環恒為結合環，那麽R已經是壹個結合環；如果R中任意兩個元素生成的子環恒為結合環，那麽R稱為壹個交錯環；
如果R中任意壹個元素生成的子環恒為結合環，那麽R稱為壹個冪結合環。在冪結合環中，第壹、第二指數定律即：恒成立。
如果壹個交錯環的乘法還適合交換律，那麽它稱為壹個交錯交換環。在交錯交換環中，不僅有第壹、第二指數定律成立，而且有第三指數定律即：（n是任意正整數）成立；還有二項式定理。
結合環與交換環的典型例子如：F上的n階全陣環，即數域（或域）F上的所有n階矩陣在矩陣的加法與乘法下構成的壹個環；V的完全線性變換環，即F上的壹個向量空間V的全部線性變換在變換的加法與乘法下構成的壹個環；F上的多項式環，即F上壹個或若幹個文字的多項式全體構成的壹個交換環。整數環，即全體整數構成的壹個交換環；全體偶數構成它的壹個子環，稱為偶數環；R上的n階全陣環，即在任意壹個環R上的全部n階矩陣，對於仿通常矩陣的運算定義的加法與乘法構成的環，記為Rn；0,1上的全實函數環，即定義在區間0,1上的全部實函數，對於函數的加法與乘法構成的壹個交換環；整數模n的環，即模n剩余類，對於剩余類的加法和乘法構成的壹個交換環。它是只含有限個元素的交換環的典型例子。
若壹個環R中含有壹個非零元素e≠θ，使對每個x∈R有ex=xe=x，則e稱為R的壹個單位元素。壹個環若有單位元素，則它必然是唯壹的。設R是壹個含有單位元素的環，α是R中壹個元素，若R中有元素b，使αb=bα=e，則b稱為α的壹個逆元素。當α有逆元素時，其逆元素必然是唯壹的，記為α-1，α-1也有逆元素，而且就是α，即（α-1）-1=α。R的零元素θ必無逆元素。若R的每個非零元素都有逆元素，則R稱為壹個體或可除環。四元數代數就是典型的體。在體的定義中再規定其乘法適合交換律，就是域的定義。