分解二次三項式時，我們常用十字相乘法．對於某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我們將上式按x降冪排列，並把y當作常數，於是上式可變形為
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，
可以看作是關於x的二次三項式．
對於常數項而言，它是關於y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字相乘法對關於x的二次三項式分解
所以
原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法．如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合並在壹起，可得到下圖：
它表示的是下面三個關系式：
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．
這就是所謂的雙十字相乘法．
用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到壹個十字相乘圖(有兩列)；
(2)把常數項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的ey，第壹、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的dx．
例1 分解因式：
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；
(2)x2-y2+5x+3y+4；
(3)xy+y2+x-y-2；
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
解 (1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4)．
(3)原式中缺x2項，可把這壹項的系數看成0來分解．
原式=(y+1)(x+y-2)．
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
說明 (4)中有三個字母，解法仍與前面的類似．
2．求根法
我們把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n為非負整數)的代數式稱為關於x的壹元多項式，並用f(x)，g(x)，…等記號表示，如
f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，
當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示．如對上面的多項式f(x)
f(1)=12-3×1+2=0；
f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0，則稱a為多項式f(x)的壹個根．
定理1(因式定理) 若a是壹元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有壹個因式x-a．
根據因式定理，找出壹元多項式f(x)的壹次因式的關鍵是求多項式f(x)的根．對於任意多項式f(x)，要求出它的根是沒有壹般方法的，然而當多項式f(x)的系數都是整數時，即整系數多項式時，經常用下面的定理來判定它是否有有理根．
定理2
的根，則必有p是a0的約數，q是an的約數．特別地，當a0=1時，整系數多項式f(x)的整數根均為an的約數．
我們根據上述定理，用求多項式的根來確定多項式的壹次因式，從而對多項式進行因式分解．
例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．
分析 這是壹個整系數壹元多項式，原式若有整數根，必是-4的約數，逐個檢驗-4的約數：±1，±2，±4，只有
f(2)=23-4×22+6×2-4=0，
即x=2是原式的壹個根，所以根據定理1，原式必有因式x-2．
解法1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2)．
原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)
=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2)．
解法2 用多項式除法，將原式除以(x-2)，
所以
原式=(x-2)(x2-2x+2)．
說明 在上述解法中，特別要註意的是多項式的有理根壹定是-4的約數，反之不成立，即-4的約數不壹定是多項式的根．因此，必須對-4的約數逐個代入多項式進行驗證．
例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．
分析 因為9的約數有±1，±3，±9；-2的約數有±1，±
為：
所以，原式有因式9x2-3x-2．
解 9x4-3x3+7x2-3x-2
=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2
=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2
=(9x2-3x-2)(x2+1)
=(3x+1)(3x-2)(x2+1)
說明 若整系數多項式有分數根，可將所得出的含有分數的因式化為整系數因式，如上題中的因式
可以化為9x2-3x-2，這樣可以簡化分解過程．
總之，對壹元高次多項式f(x)，如果能找到壹個壹次因式(x-a)，那麽f(x)就可以分解為(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低壹次的壹元多項式，這樣，我們就可以繼續對g(x)進行分解了．
3．待定系數法
待定系數法是數學中的壹種重要的解題方法，應用很廣泛，這裏介紹它在因式分解中的應用．
在因式分解時，壹些多項式經過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數尚未確定，這時可以用壹些字母來表示待定的系數．由於該多項式等於這幾個因式的乘積，根據多項式恒等的性質，兩邊對應項系數應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關於待定系數的方程(或方程組)，解出待定字母系數的值，這種因式分解的方法叫作待定系數法．
例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
分析 由於
(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，
若原式可以分解因式，那麽它的兩個壹次項壹定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，應用待定系數法即可求出m和n，使問題得到解決．
解 設
x2+3xy+2y2+4x+5y+3
=(x+2y+m)(x+y+n)
=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比較兩邊對應項的系數，則有
解之得m=3，n=1．所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
說明 本題也可用雙十字相乘法，請同學們自己解壹下．
例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．
分析 本題所給的是壹元整系數多項式，根據前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是±1，±7(7的約數)，經檢驗，它們都不是原式的根，所以，在有理數集內，原式沒有壹次因式．如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．
解 設
原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，
所以有
由bd=7，先考慮b=1，d=7有
所以
原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
說明 由於因式分解的唯壹性，所以對b=-1，d=-7等可以不加以考慮．本題如果b=1，d=7代入方程組後，無法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數為止．
本題沒有壹次因式，因而無法運用求根法分解因式．但利用待定系數法，使我們找到了二次因式．由此可見，待定系數法在因式分解中也有用武之地．
練習二
1．用雙十字相乘法分解因式：
(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；
(2)x2-xy+2x+y-3；
(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．
2．用求根法分解因式：
(1)x3+x2-10x-6；
(2)x4+3x3-3x2-12x-4；
(3)4x4+4x3-9x2-x+2．
3．用待定系數法分解因式：
(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；
(2)x4+5x3+15x-9．