其特征方程為x^2-p*x-q=0
i.若其有兩個不相等的根（稱作特征根）α、β
則an=A*α^n+B*β^n
其中常數A、B的值由初始值a1、a2的值確定.
ii.若其有兩個相等的根α
則an=(A*n+B)*α^n
其中常數A、B的值由初始值a1、a2的值確定.
最終可得：
當{an}有兩個不等的特征根為根α,β時
由
a(n+2)-α*a(n+1)=β^(n-1)*(a2-α*a1)
a(n+2)-β*a(n+1)=α^(n-1)*(a2-β*a1)
得
an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)-((a2-β*a1)/(α-β))*β^(n-1)
或由
A*α+B*β=a1
A*α^2+B*β^2=a2
可得
A=(a2-β*a1)/(α^2-α*β)
B=(a2-β*a1)/(β^2-α*β)
得
an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)+((a2-β*a1)/(β-α))*β^(n-1)
當特征根為重根α時
由
an-α*a(n-1)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
α*a(n-1)-α^2*a(n-2)=α^(n-2)*(a2-α*a1)
…
α^(n-2)*a2-α^(n-1)*a1=α^(n-2)*(a2-α*a1)
an-α^(n-1)*a1=(n-1)*α^(n-2)*(a2-α*a1)
得
an=((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)
或由
(A+B)*α=a1
(2*A+B)*α^2=a2
可得
A=(a2-a1*α)/(α^2)
A=(2*a1*α-a2)/(α^2)
得
((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2)
由於
α+β=A
α*β=-B
由韋達定理，可構造壹元二次方程
x^2-p*x-q=0
此即為二階常系數齊次線性遞推數列
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
的特徵方程
特殊的，當二階常系數齊次線性遞推數列
a(n+2)=p*a(n+1)+q*an
的特徵根為重根α=1時
即p=2，q=-1
a(n+2)=2*a(n+1)-an
此時，二階常系數齊次線性遞推數列
a(n+2)=2*a(n+1)-an
為等差數列