那麽，什麽是歌德巴赫猜想呢？
哥德巴赫是德國壹位中學教師，也是壹位著名的數學家，生於1690年，1725年當選為俄國彼得堡科學院院士。1742年，哥德巴赫在教學中發現，每個不小於6的偶數都是兩個素數（只能被和它本身整除的數）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉，提出了以下的猜想:
(a)任何壹個>=6之偶數，都可以表示成兩個奇質數之和。
(b) 任何壹個>=9之奇數，都可以表示成三個奇質數之和。
這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈壹指的數學家都不能證明，這個猜想便引起了許多數學家的註意。從哥德巴赫提出這個猜想至今，許多數學家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。當然曾經有人作了些具體的驗證工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人對33×108以內且大過6之偶數壹壹進行驗算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但嚴格的數學證明尚待數學家的努力。
從此，這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的註意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上壹顆可望不可及的"明珠"。 人們對哥德巴赫猜想難題的熱情，歷經兩百多年而不衰。世界上許許多多的數學工作者，殫精竭慮，費盡心機，然而至今仍不得其解。
到了20世紀20年代，才有人開始向它靠近。1920年挪威數學家布朗用壹種古老的篩選法證明，得出了壹個結論：每壹個比大的偶數都可以表示為（99）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們於是從（9十9）開始，逐步減少每個數裏所含質數因子的個數，直到最後使每個數裏都是壹個質數為止，這樣就證明了哥德巴赫猜想。
目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於1966年證明的，稱為陳氏定理：“任何充分大的偶數都是壹個質數與壹個自然數之和，而後者僅僅是兩個質數的乘積。”通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為 “1 + 2”的形式。
在陳景潤之前，關於偶數可表示為 s個質數的乘積 與t個質數的乘積之和(簡稱“s + t”問題)之進展情況如下:
1920年，挪威的布朗證明了‘“9 + 9”。
1924年，德國的拉特馬赫證明了“7 + 7”。
1932年，英國的埃斯特曼證明了“6 + 6”。
1937年，意大利的蕾西先後證明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。
1938年，蘇聯的布赫夕太勃證明了“5 + 5”。
1940年，蘇聯的布赫夕太勃證明了“4 + 4”。
1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1 + c”，其中c是壹很大的自然數。
1956年，中國的王元證明了“3 + 4”。
1957年，中國的王元先後證明了 “3 + 3”和“2 + 3”。
1962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證明了“1 + 5”， 中國的王元證明了“1 + 4”。
1965年，蘇聯的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫，及 意大利的朋比利證明了“1 + 3 ”。
1966年，中國的陳景潤證明了 “1 + 2 ”。
從1920年布朗證明"9＋9"到1966年陳景潤攻下“1＋2”，歷經46年。自"陳氏定理"誕生至今的30多年裏，人們對哥德巴赫猜想猜想的進壹步研究，均勞而無功。
布朗篩法的思路是這樣的：即任壹偶數(自然數)可以寫為2n，這裏n是壹個自然數，2n可以表示為n個不同形式的壹對自然數之和： 2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n 在篩去不適合哥德巴赫猜想結論的所有那些自然數對之後(例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1，2,…;3j和(2n-3j)，j=2,3,…;等等)，如果能夠證明至少還有壹對自然數未被篩去，例如記其中的壹對為p1和p2，那麽p1和p2都是素數，即得n=p1+p2，這樣哥德巴赫猜想就被證明了。前壹部分的敘述是很自然的想法。關鍵就是要證明'至少還有壹對自然數未被篩去'。目前世界上誰都未能對這壹部分加以證明。要能證明，這個猜想也就解決了。
然而，因大偶數n（不小於6）等於其對應的奇數數列（首為3，尾為n-3）首尾挨次搭配相加的奇數之和。故根據該奇數之和以相關類型質數+質數（1+1）或質數+合數（1+2）（含合數+質數2+1或合數+合數2+2）（註：1+2 或 2+1 同屬質數+合數類型）在參與無限次的"類別組合"時，所有可發生的種種有關聯系即1+1或1+2完全壹致的出現，1+1與1+2的交叉出現（不完全壹致的出現），同2+1或2+2的"完全壹致"，2+1與2+2的"不完全壹致"等情況的排列組合所形成的各有關聯系，就可導出的"類別組合"為1+1，1+1與1+2和2+2，1+1與1+2，1+2與2+2，1+1與2+2，1+2等六種方式。因為其中的1+2與2+2，1+2 兩種"類別組合"方式不含1+1。所以1+1沒有覆蓋所有可形成的"類別組合"方式，即其存在是有交替的，至此，若可將1+2與2+2，以及1+2兩種方式的存在排除，則1+1得證，反之，則1+1不成立得證。然而事實卻是：1+2 與2+2，以及1+2（或至少有壹種）是陳氏定理中（任何壹個充分大的偶數都可以表示為兩個素數的和，或壹個素數與兩個素數乘積的和），所揭示的某些規律（如1+2的存在而同時有1+1缺失的情況）存在的基礎根據。所以1+2與2+2，以及1+2（或至少有壹種）"類別組合"方式是確定的，客觀的，也即是不可排除的。所以1+1成立是不可能的。這就徹底論證了布朗篩法不能證"1+1"。
由於素數本身的分布呈現無序性的變化，素數對的變化同偶數值的增長二者之間不存在簡單正比例關系，偶數值增大時素數對值忽高忽低。能通過數學關系式把素數對的變化同偶數的變化聯系起來嗎？不能！偶數值與其素數對值之間的關系沒有數量規律可循。二百多年來，人們的努力證明了這壹點，最後選擇放棄，另找途徑。於是出現了用別的方法來證明歌德巴赫猜想的人們，他們的努力，只使數學的某些領域得到進步，而對歌德巴赫猜想證明沒有壹點作用。
歌德巴赫猜想本質是壹個偶數與其素數對關系，表達壹個偶數與其素數對關系的數學表達式，是不存在的。它可以從實踐上證實，但邏輯上無法解決個別偶數與全部偶數的矛盾。個別如何等於壹般呢？個別和壹般在質上同壹，量上對立。矛盾永遠存在。歌德巴赫猜想是永遠無法從理論上，邏輯上證明的數學結論。
“用當代語言來敘述，哥德巴赫猜想有兩個內容，第壹部分叫做奇數的猜想，第二部分叫做偶數的猜想。奇數的猜想指出，任何壹個大於等於7的奇數都是三個素數的和。偶數的猜想是說，大於等於4的偶數壹定是兩個素數的和。”（引自《哥德巴赫猜想與潘承洞》）
關於歌德巴赫猜想的難度我就不想再說什麽了，我要說壹下為什麽現代數學界對歌德巴赫猜想的興趣不大，以及為什麽中國有很多所謂的民間數學家對歌德巴赫猜想研究興趣很大。
事實上，在1900年，偉大的數學家希爾伯特在世界數學家大會上作了壹篇報告，提出了23個挑戰性的問題。歌德巴赫猜想是第八個問題的壹個子問題，這個問題還包含了黎曼猜想和孿生素數猜想。現代數學界中普遍認為最有價值的是廣義黎曼猜想，若黎曼猜想成立，很多問題就都有了答案，而歌德巴赫猜想和孿生素數猜想相對來說比較孤立，若單純的解決了這兩個問題，對其他問題的解決意義不是很大。所以數學家傾向於在解決其它的更有價值的問題的同時，發現壹些新的理論或新的工具，“順便”解決歌德巴赫猜想。
例如：壹個很有意義的問題是：素數的公式。若這個問題解決，關於素數的問題應該說就不是什麽問題了。
為什麽民間數學家們如此醉心於哥猜，而不關心黎曼猜想之類的更有意義的問題呢？
壹個重要的原因就是，黎曼猜想對於沒有學過數學的人來說，想讀明白是什麽意思都很困難。而歌德巴赫猜想對於小學生來說都能讀懂。
數學界普遍認為，這兩個問題的難度不相上下。
民間數學家解決歌德巴赫猜想大多是在用初等數學來解決問題，壹般認為，初等數學無法解決歌德巴赫猜想。退壹步講，即使那天有壹個牛人，在初等數學框架下解決了歌德巴赫猜想，有什麽意義呢？這樣解決，恐怕和做了壹道數學課的習題的意義差不多了。
當年柏努力兄弟向數學界提出挑戰，提出了最速降線的問題。牛頓用非凡的微積分技巧解出了最速降線方程，約翰·柏努力用光學的辦法巧妙的也解出最速降線方程，雅克布·柏努力用比較麻煩的辦法解決了這個問題。雖然雅克布的方法最復雜，但是在他的方法上發展出了解決這類問題的普遍辦法——變分法。現在來看，雅克布的方法是最有意義和價值的。
同樣，當年希爾伯特曾經宣稱自己解決了費爾馬大定理，但卻不公布自己的方法。別人問他為什麽，他回答說：“這是壹只下金蛋的雞，我為什麽要殺掉它？”的確，在解決費爾馬大定理的歷程中，很多有用的數學工具得到了進壹步發展，如橢圓曲線、模形式等。
所以，現代數學界在努力的研究新的工具，新的方法，期待著歌德巴赫猜想這個“下金蛋的雞”能夠催生出更多的理論和工具。
附：黎曼猜想：
黎曼ζ函數的非平凡零點的實部都為1/2。
關於黎曼猜想更詳細的請查閱 維基百科