三維矩陣的行列式是三個向量所張成的體積。
壹個變換，在特征向量所張成的坐標系下，是壹個對角矩陣。對角線上的數字，是對應基向量的特征值。特征值表示的是，矩陣對單位基向量的縮放倍數。也就是說，特征值代表著映射到另壹個空間的單壹維度的縮放比例。
對角矩陣的行列式等於特征值的乘積。這壹點，從特征值和行列式的意義，不難直接得出。
如果行列式不為零，代表變換對每壹個維度的縮放都不為零。所以這個映射是可逆的。矩陣是滿秩的。原空間和映射之後的空間的維度是相等的,映射後的空間與原空間在體積上擴大的倍數等於行列式，等於各個維度縮放倍數的乘積，也就是等於所有特征值的乘積。
如果行列式為零，代表變換至少對壹個維度的壓縮到了零點。所以這個映射是多對壹的，矩陣不可逆。矩陣是非滿秩的。原空間和映射之後的空間的維度是不相等的，映射之後的空間維度降低了。向量空間經過矩陣映射之後，被壓縮了。