離散信號傅裏葉變換的公式如下所示：
離散傅裏葉變換的原理是將原本非周期的信號復制擴展為周期信號，在實際的數字電路處理中，處理的信號是有限長的，取長度為N，即N為信號 的周期，對於有限長周期信號，其離散傅裏葉變換有如下性質：
其中 為周期信號的傅裏葉級數，而 表示當且僅當 時有 ，因此可以將傅裏葉變換轉為離散表達，如下所示：
考慮 以N為周期，因此僅需要計算k從0到N-1即可，取 此公式寫成矩陣乘法模式如下所示：
W為壹個 的方陣，該計算的復雜度為
對於系數矩陣中的元素 ，其公式如下所示：
考慮 ，推導公式如下所示：
再考慮 和 的情況：
再考慮 和 的情況：
最後考慮 且 或 的情況：
根據上述推導，可以得出系數W具有以下四條性質，這三條性質會在後續推導中用到：
基n快速傅裏葉變換用於壹個長度N為 的序列，例如基2快速傅裏葉作用在 的序列上，基4快速傅裏葉作用在 的序列上。現在考慮基2FFT的推導（硬件實現壹般使用基4或基8FFT實現），首先寫出有限長離散序列的傅裏葉變換，記壹個信號 的FFT變換為 ：
快速傅裏葉變換的核心思想為 分而治之 ，即 分治法 ，該思想的核心是將壹個長度為N的問題，分級為兩個長度為 的問題，應用在這裏即是需要將壹個序列長度為N的FFT變換問題分解為兩個序列長度為 的FFT變換。首先進行如下變換：
矩陣的形式如下所示：
根據W的性質 ，代入後有：
矩陣形式的表達如下所示，現在的矩陣為兩個個高度為N，長度為N/2的矩陣。
代入 ，根據W的性質 有：
矩陣表達如下所示：
代入 ，根據W的性質 有：
矩陣表達如下所示：
根據上述推導，壹個長度為N點的離散傅裏葉變換被變為壹個長度為 的離散傅裏葉變換，取 公式如下所示：
根據頻域抽取基2FFT的算法，除了按前後分類外，還可以直接按奇偶進行分類，公式如下所示：
對應的矩陣表示為：
取序列 ， 代入上述表達式，取 再代入W的變換性質可得：
其對應的矩陣為：
即將對F[k]的上半部分結果分解為兩個FFT結果的和，即：
現在考慮F[k]的下半部分，公式如下所示：
取 ，代入有：
代入W的性質 和 ，有：
將變量i更換為k，其矩陣形式為：
最終可以將結果匯總為：
蝶形運算的公式如下，蝶形運算輸入為 和 ，輸出為 和 ，系數為 ：
其轉換為矩陣表達為：
蝶形公式對應著2點FFT的計算，2點FFT的計算如下所示：
轉換為矩陣表達為：
對應到蝶形運算有：
首先列出基2頻域抽取FFT的分治公式：
以壹個8點FFT為例，輸入序列為：
進行第壹次分治，分為兩個4點FFT，序列為：
示意圖如下所示，偶數標號的結果由第壹個FFT生成，奇數標號的結果由第二個FFT生成：
隨後進行第二次分治，將每個4點FFT分解為兩個2點FFT，每個序列為：
示意圖如下所示：
最終通過2點FFT計算出結果，但如上圖所示，計算出的結果位置與標號並不對應，例如計算輸出的標號為2的數據（Y10[1]）應當位於輸出序列（X）的標號4（X[4]）。其變換規律為計算輸出的標號為n的數據（第n+1個數據）對應到輸出序列標號為m的數據，n為m的二進制反序。以計算輸出標號為6（第七個數據）的數據Y13[0]為例，6的二進制為110，反序為011，對應十進制數為3，即有 。
首先列出時域抽取FFT的分治公式：