證明方法如下：
壹、即當p≤1p≤1時，有1np≥1n1np≥1n，調和級數是發散的，按照比較審斂法：?
若vnvn是發散的，在n>N,總有un≥vnun≥vn,則unun也是發散的。?
調和級數1n1n是發散的，那麽p級數也是發散的。
二、當p>1時，證明的思路大概就是對於每壹個整數，取壹個鄰域區間，使鄰域區間間x∈[k,k?1]x∈[k,k?1]使得某個函數在[k,k?1][k,k?1]鄰域區間內的積分小於1xp1xp在這個鄰域區間的積分。然後目的當然是通過積分求指數原函數解決問題。
這個證明的比較函數取的很巧妙，令k?1≤x≤kk?1≤x≤k,那麽1kp≤1xp1kp≤1xp.
利用比較審斂法的感覺，應該找壹個比p級數的壹般式大的收斂數列，證明p級數收斂。這個就有點反套路了。?
1kp=∫kk?11kpdx(這裏是對x積分而不是k)≤∫kk?11xp1kp=∫k?1k1kpdx(這裏是對x積分而不是k)≤∫k?1k1xp
其中（k=2,3....）（k=2,3....）
討論級數和,用k的形式代表p級數，並且用壹個大於它的函數來求得極限。?
sn=1+∑k=2n1kp（p級數）≤1+∑k=2n∫k?1k1xp=1+∫n11xpdxsn=1+∑k=2n1kp（p級數）≤1+∑k=2n∫kk?11xp=1+∫1n1xpdx。
這裏利用積分區間的可加性:?
∫D1f(x)dx+∫D2f(x)dx=∫D1+D2f(x)dx。
擴展資料：
1. 級數
將數列 unun 的項 u1,u2,…,un,…u1,u2,…,un,…，依次用加號連接起來的函數。數項級數的簡稱。如： u1+u2+…+un+…u1+u2+…+un+… ，簡寫為 ∑un∑un ， unun 稱為級數的通項，記 Sn=∑unSn=∑un 稱之為級數的部分和。
如果當 n→∞n→∞ 時 ，數列有極限，則說級數收斂，並以 SS 為其和，記為 ∑un=S∑un=S ；否則就說級數發散。
2. 簡單證明
基本手段-放縮
級數 n+1?√?n?√n+1?n 的斂散性：
∑n+1?√?n?√=∑1n+1?√+n?√>∑12n+1?√>∑12(n+1)，
因此其是發散的。