正交多項式最簡單的例子是勒讓德多項式,此外還有雅可比多項式、切比雪夫多項式、拉蓋爾多項式、埃爾米特多項式等，它們在微分方程、函數逼近等研究中都是極有用的工具。
設ω(x)是定義在區間α,b上的非負可積函數，如果它滿足條件，則稱 ω(x)為壹個權函數。如果定義在[α，b]上的函數 ?（x）與g(x)滿足等式 ,則稱它們在α,b上關於權ω(x)是正交的,並稱α,b為它們的正交區間。對於給定的區間 α,b及其上的權函數ω(x)，從冪函數序列出發，可以構造壹列多項式： (1)
使得pn(x)的次數是n，而且其中任意兩個多項式在[α,b]上都關於ω(x)正交,這時稱 (1)為在[α,b]上關於權ω(x)的正交多項式系，並稱(1)中每壹個多項式為正交多項式。如果正交多項式系(1)還滿足條件·,則稱(1)為在 α,b上關於權ω(x)的規範正交多項式系。
為了構造(1)，先計算積分,然後記Δ -1=1
以及
則就是在[α，b]上關於權ω(x)的壹個正交多項式系。常記
則n(x)的首項系數為1，n(x)的首項系數是正的，而且{n(x)}是在α，b上關於權ω(x)的規範正交多項式系。對於同壹權函數的正交多項式系雖然很多，但是首項系數為 1的正交多項式系或首項系數為正的規範正交多項式系卻是由權ω(x)所惟壹確定的。任壹n次多項式都可表示為p0(x),p1(x),…,pn(x)的線性組合。pn(x)的零點全部位於(α，b)中,而且pn+1(x)的相鄰兩個零點間都有pn(x)的壹個零點。此外,對於n=0，1,…都有如下的遞推公式： (2)
式中
假設函數?(x)在[α,b]上關於ω(x)平方可積, 即，則稱為?關於的傅裏葉系數,為?的傅裏葉級數。若記這個級數前n+1項之和為Sn(?,x),則對任何次數小於n的多項式q(x)有而且當n→∞時,這個不等式左邊所表示的偏差收斂於零。對於任何正交多項式系，都有連續函數使其傅裏葉級數不壹致收斂。為了研究傅裏葉級數的收斂性，常記 稱為核。顯然。關於核Kn(x,t)有如下的克裏斯托費爾-達布公式
由此易證:若在點x處有界，而且函數關於權ω（t）平方可積，則Sn(?,x)收斂於?(x)。
常用的正交多項式是關於正交的雅可比多項式
式中α>-1，β>-1，是給定的實數，對於，有
可以算出，此時遞推公式(2)中的 α=β的情況比較簡單，稱作超球多項式。當α=β=0,也即關於權時，相應的正交多項式稱作勒讓德多項式，它還可表成 當,也即關於權相應的正交多項式稱作切比雪夫多項式，它有表達式
當，也即關於權，相應的正交多項式稱作第二類切比雪夫多項式，它有表達式
這些正交多項式的正交區間都是[-1,1]。它們不僅本身有廣泛的應用，而且其零點還常作為插值過程的結點。此外,還是二階線性齊次微分方程 的解。
如果討論的是無限區間0,+∞),則常考慮以或為權的正交多項式系與，它們依次稱作拉蓋爾多項式與埃爾米特多項式，其表達式是
遞推公式是 Ln(x)與Hn(x)
還依次滿足微分方程