1.祖沖之和圓周率
祖沖之不但精通天文、歷法，他在數學方面的貢獻，特別對“圓周率”研究的傑出成就，更是超越前代，在世界數學史上放射著異彩。
我們都知道圓周率就是圓的周長和同壹圓的直徑的比，這個比值是壹個常數，現在通用希臘字母“π”來表示。圓周率是壹個永遠除不盡的無窮小數，它不能用分數、有限小數或循環小數完全準確地表示出來。由於現代數學的進步，已計算出了小數點後兩千多位數字的圓周率。
圓周率的應用很廣泛。尤其是在天文、歷法方面，凡牽涉到圓的壹切問題，都要使用圓周率來推算。我國古代勞動人民在生產實踐中求得的最早的圓周率值是“ 3”，這當然很不精密，但壹直被沿用到西漢。後來，隨著天文、數學等科學的發展，研究圓周率的人越來越多了。西漢末年的劉歆首先拋棄“3”這個不精確的圓周率值，他曾經采用過的圓周率是3.547。東漢的張衡也算出圓周率為**=3.1622。這些數值比起π=3當然有了很大的進步，但是還遠遠不夠精密。到了三國末年，數學家劉徽創造了用割圓術來求圓周率的方法，圓周率的研究才獲得了重大的進展。
用割圓術來求圓周率的方法，大致是這樣：先作壹個圓，再在圓內作壹內接正六邊形。假設這圓的直徑是2，那末半徑就等於1。內接正六邊形的壹邊壹定等於半徑，所以也等於1；它的周長就等於6。如果把內接正六邊形的周長6當作圓的周長，用直徑2去除，得到周長與直徑的比π=6/2=3，這就是古代π=3的數值。但是這個數值是不正確的，我們可以清楚地看出內接正六邊形的周長遠遠小於圓周的周長。
如果我們把內接正六邊形的邊數加倍，改為內接正十二邊形，再用適當方法求出它的周長，那麽我們就可以看出，這個周長比內按正六邊形的周長更接近圓的周長，這個內接正十二邊形的面積也更接近圓面積。從這裏就可以得到這樣壹個結論：圓內所做的內接正多邊形的邊數越多，它各邊相加的總長度（周長）和圓周周長之間的差額就越小。從理論上來講，如果內接正多邊形的邊數增加到無限多時，那時正多邊形的周界就會同圓周密切重合在壹起，從此計算出來的內接無限正多邊形的面積，也就和圓面積相等了。不過事實上，我們不可能把內接正多邊形的邊數增加到無限多，而使這無限正多邊形的周界同圓周重合。只能有限度地增加內接正多邊形的邊數，使它的周界和圓周接近重合。所以用增加圓的內接正多邊形邊數的辦法求圓周率，得數永遠稍小於π的真實數值。劉徽就是根據這個道理，從圓內接正六邊形開始，逐次加倍地增加邊數，壹直計算到內接正九十六邊形為止，求得了圓周率是3.141O24。把這個數化為分數，就是157/50
劉徽所求得的圓周率，後來被稱為“徽率”。他這種計算方法，實際上已具備了近代數學中的極限概念。這是我國古代關於圓周率的研究的壹個光輝成就。
祖沖之在推求圓周率方面又獲得了超越前人的重大成就。根據《隋書·律歷誌》的記載，祖沖之把壹丈化為壹億忽，以此為直徑求圓周率。他計算的結果***得到兩個數：壹個是盈數（即過剩的近似值），為3.1415927；壹個是朒數（即不足的近似值），為3.1415926。圓周率真值正好在盈朒 兩數之間。《隋書》只有這樣簡單的記載，沒有具體說明他是用什麽方法計算出來的。不過從當時的數學水平來看，除劉徽的割圓術外，還沒有更好的方法。祖沖之很可能就是采用了這種方法。因為采用劉徽的方法，把圓的內接正多邊形的邊數增多到24576邊時，便恰好可以得出祖沖之所求得的結果。
盈朒 兩數可以列成不等式，如：3.1415926（*）＜π（真實的圓周率）＜3.1415927（盈），這表明圓周率應在盈朒 兩數之間。按照當時計算都用分數的習慣，祖沖之還采用了兩個分數值的圓周率。壹個是355/119（約等於3.1415927），這壹個數比較精密，所以祖沖之稱它為“密率”。另壹個是了（約等於3.14），這壹個數比較粗疏，所以祖沖之稱它為“約率”。在歐洲，直到1573年才由德國數學家渥脫求出了355/119這個數值。因此，日本數學家三上義夫曾建議把355/119這個圓周率數值稱為“祖率”，來紀念這位中國的大數學家。
2.牛頓和微積分
大多數現代歷史學家都相信，牛頓與萊布尼茨獨立發展出了微積分學，並為之創造了各自獨特的符號。根據牛頓周圍的人所述，牛頓要比萊布尼茨早幾年得出他的方法，但在1693年以前他幾乎沒有發表任何內容，並直至1704年他才給出了其完整的敘述。其間，萊布尼茨已在1684年發表了他的方法的完整敘述。此外，萊布尼茨的符號和“微分法”被歐洲大陸全面地采用，在大約1820年以後，英國也采用了該方法。萊布尼茨的筆記本記錄了他的思想從初期到成熟的發展過程，而在牛頓已知的記錄中只發現了他最終的結果。牛頓聲稱他壹直不願公布他的微積分學，是因為他怕被人們嘲笑。牛頓與瑞士數學家尼古拉·法蒂奧·丟勒（Nicolas Fatio de Duillier）的聯系十分密切，後者壹開始便被牛頓的引力定律所吸引。 1691年，丟勒打算編寫壹個新版本的牛頓《自然哲學的數學原理》，但從未完成它。壹些研究牛頓的傳記作者認為他們之間的關系可能存在愛情的成分。 不過，在1694年這兩個人之間的關系冷卻了下來。在那個時候，丟勒還與萊布尼茨交換了幾封信件。
在1699年初，皇家學會（牛頓也是其中的壹員）的其他成員們指控萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，爭論在1711年全面爆發了。牛頓所在的英國皇家學會宣布，壹項調查表明了牛頓才是真正的發現者，而萊布尼茨被斥為騙子。但在後來，發現該調查評論萊布尼茨的結語是由牛頓本人書寫，因此該調查遭到了質疑。這導致了激烈的牛頓與萊布尼茨的微積分學論戰，並破壞了牛頓與萊布尼茨的生活，直到後者在1716年逝世。這場爭論在英國和歐洲大陸的數學家間劃出了壹道鴻溝，並可能阻礙了英國數學至少壹個世紀的發展。
3.歐幾裏德與《幾何原本》
關於他的生平，現在知道的很少。早年大概就學於雅典,深知柏拉圖的學說。公元前300年左右，在托勒密王（公元前364～前283）的邀請下，來到亞歷山大，長期在那裏工作。他是壹位溫良敦厚的教育家，對有誌數學之士，總是循循善誘。但反對不肯刻苦鉆研、投機取巧的作風，也反對狹隘實用觀點。據普羅克洛斯（約410～485）記載，托勒密王曾經問歐幾裏得，除了他的《幾何原本》之外，還有沒有其他學習幾何的捷徑。歐幾裏得回答說： “幾何無王者之路。”意思是， 在幾何裏，沒有專為國王鋪設的大道。 這句話後來成為傳誦千古的學習箴言。斯托貝烏斯（約 500）記述了另壹則故事,說壹個學生才開始學第壹個命題，就問歐幾裏得學了幾何學之後將得到些什麽。歐幾裏得說：給他三個錢幣，因為他想在學習中獲取實利。
歐幾裏得生於雅典，是柏拉圖的學生。他的科學活動主要是在亞歷山大進行的，在這裏，他建立了以他為首的數學學派。
歐幾裏得，以他的主要著作《幾何原本》而著稱於世，他的工作重大意義在於把前人的數學成果加以系統的整理和總結，以嚴密的演繹邏輯，把建立在壹些公理之上的初等幾何學知識構成為壹個嚴整的體系。
歐幾裏得建立起來的幾何學體系之嚴謹和完整，就連20世紀最傑出的大科學家愛因斯坦也不能對他不另眼相看。
愛因斯坦說：“壹個人當他最初接觸歐幾裏得幾何學時，如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動，那麽他是不會成為壹個科學家的。”
《幾何原本》中的數學內容也許沒有多少為他所創，但是關於公理的選擇，定理的排列以及壹些嚴密的證明無疑是他的功勞，在這方面，他的工作出色無比。
歐幾裏得的《幾何原本》***有13篇，首先給出的是定義和公理。比如他首先定義了點、線、面的概念。
他整理的5條公理其中包括：
1.從壹點到另壹任意點作直線是可能的；
2.所有的直角都相等；
3.a=b，b=c，則a=c；
4.若a=b則a＋c=b＋c等等。
這裏面還有壹條公理是歐幾裏得自己提出的，即：整體大於部分。
雖然這條公理不像別的公理那麽壹望便知，不那麽容易為人接受，但這是歐氏幾何中必須的，必不可少的。他能提出來，這恰恰顯示了他的天才。
《幾何原本》第1～4篇主要講多邊形和圓的基本性質，像全等多邊形的定理，平行線定理，勾股弦定理等。
第2篇講幾何代數，用幾何線段來代替數，這就解決了希臘人不承認無理數的矛盾，因為有些無理數可以用作圖的方法，來把它們表示出來。
第3篇討論圓的性質，如弦、切線、割線，圓心角等。
第4篇討論圓的內接和外接圖形。
第5篇是比例論。這壹篇對以後數學發展史有重大關系。
第6篇講的是相似形。其中有壹個命題是：直角三角形斜邊上的矩形，其面積等於兩直角邊上的兩個與這相似的矩形面積之和。讀者不妨壹試。
第7、8、9篇是數論，即講述整數和整數之比的性質。
第10篇是對無理數進行分類。
第11～13篇講的是立體幾何。
全部13篇***包含有467個命題。《幾何原本》的出現說明人類在幾何學方面已經達到了科學狀態，在經驗和直覺的基礎上建立了科學的、邏輯的理論。
歐幾裏得，這位亞歷山大大學的數學教授，已經把大地和蒼天轉化為壹幅由錯綜復雜的圖形所構成的龐大圖案。
他又運用他的驚人才智，指揮靈巧的手指將這個圖案拆開，分成為簡單的組成部分：點、線、角、平面、立體——把壹幅無邊無垠的圖，譯成初等數學的有限語言。
盡管歐幾裏得簡化了他的幾何學，但他堅持對幾何學的原則進行透徹的研究，以便他的學生們能充分理解它。
據說，亞歷山大國王多祿米曾師從歐幾裏得學習幾何，有壹次對於歐幾裏得壹遍又壹遍地解釋他的原理表示不耐煩。
國王問道：“有沒有比妳的方法簡捷壹些的學習幾何學的途徑？”
歐幾裏得答道：“陛下，鄉下有兩種道路，壹條是供老百姓走的難走的小路，壹條是供皇家走的坦途。但是在幾何學裏，大家只能走同壹條路。走向學問，是沒有什麽皇家大道的，請陛下明白。”
歐幾裏得的這番話後來推廣為“求知無坦途”，成為傳誦千古的箴言。
關於歐幾裏得的壹生的細節，由於資料缺乏，我們知道得很少。有壹個故事說的是歐幾裏得和妻子吵架，妻子很為惱火。
妻子說：“收起妳的亂七八糟的兒何圖形，它難道為妳帶來了面包和牛肉。”
歐幾裏得天生是個憨脾氣，只是笑了笑，說道：“婦人之見，妳知道嗎？我現在所寫的，到後世將價值連城！”
妻子嘲笑道：“難道讓我們來世再結合在壹起嗎？妳這書呆子。”
歐幾裏得剛要分辯，只見妻子拿起他寫的《幾何原本》的壹部分投入火爐中。歐幾裏得連忙來搶，可是已經來不及了。
據說妻子燒掉的是《幾何原本》中最後最精彩的壹章。但這個遺憾是無法彌補的，她燒的不僅僅是壹些有用的書，她燒的是歐幾裏得血汗和智慧的結晶。
如果上面這個故事是真的，那麽他妻子的那場震怒可能並不是歐幾裏得引起來的。因為古代的作家們告訴我們，他是壹個“溫和慈祥的老頭。”
由於歐幾裏得知識的淵博，他的學生們簡直把他當作偶像來崇拜。歐幾裏得在教授學生時，像壹個真正的父親那樣引導他們，關心他們。
然而有時，他也用辛辣的諷刺來鞭撻學生中比較傲慢的，使他們馴服。有壹個學生在學習了第壹定理之後，便問道：“學習幾何，究竟會有什麽好處？”
於是，歐幾裏得轉身吩咐傭人說：“格魯米阿，拿三個錢幣給這位先生，因為他想在學習中獲得實利。”
歐幾裏得主張學習必須循序漸進、刻苦鉆研，不贊成投機取巧的作風，更反對狹隘的實用觀念。後來者帕波斯就特別贊賞他這謙遜的品德。
像古希臘的大多數學者壹樣，歐幾裏德對於他的科學研究的“實際”價值是不大在乎的。他喜愛為研究而研究。
他羞怯謙恭，與世無爭，平靜地生活在自己的家裏。在那個到處充滿勾心鬥角的世界裏，對於人們吵吵鬧鬧所作出的俗不可耐的表演，則聽之任之。
他說：“這些浮光掠影的東西終究會過去，但是，星羅棋布的天體圖案，卻是永恒地巋然不動。”
歐幾裏得除了寫作重要幾何學巨著《幾何原本》外，還著有《數據》、《圖形分割》、《論數學的偽結論》、《光學》、《反射光學之書》等著作。