2．會用概率分布函數cdf求各種分布中的不同事件的概率，會用逆概率函數inv求各種分布的α分位點。
背景知識：統計工具箱簡介
統計工具箱是壹套建立於Matlab數值計算環境的統調分析工具．能夠支持範圍廣泛的統計計算任務，提供工程和科學統計的基本能力。其中包括200各個M文件(函數)，主要文持以下各方面的內容。
?概率分布——提供了20種概率分布類型，其中包括連續分布和離散分布，而且每種分布類型均給出5個有用的函數，即概率密度函數、累積分布因數、逆累積分布函數、隨機數產生器和均值與方差計算函數。
?參數估計——依據特定分布的原始數據，可以計算分布參數的估計值及***置信區間。
?描述性統計——提供描述數據樣本特征的函數，包括位置和散布的度量、分位數估計和處理數據缺夫情況的函數等。
?線性模型——針對線性模型，工具箱提供的函數涉及單因素方差分析、雙因素方差分析、多重線性回歸、逐步回歸、響應曲面預測和嶺回歸等。
?非線性模型——為非線性模型提供的函數涉及參數估計、多維非線性擬合的交互預測和可視化以及參數和預計值的置信區間計算等。
假設檢驗——此間提供最通用的假設檢驗的函數：t檢驗和z檢驗。
多元統計——關於多元統計的函數有主成分分析和線性判別分析。
統計繪圖——Matlab圖形庫中添加了box圖、正東概率圖、威布爾概率圖分位數與分位數圖等，另外還對多項式擬合和預測的支持進行擴展。
統計工序管理——可繪制通用的管理圖和進行工序性能的研究。
試驗設計——支持因子設計和D優化設計。
統計工具箱的函數主要分為兩類
數值計算函數 交互式圖形工具函數前壹類工具由—些函數組成，可以通過命令行或自己的應用程序來調用這些函數。其中很多函數為Matlab的M文件，這些文件由壹系列實現特殊統計算註的語句構成。可使用下還語句查看這些函數的代碼
type function_name
也可以將M文件拷貝下米，然後進行修改，形成按您所需要的算法進行計算的M文件，並將其添加到工具路中。
工具箱所提供的後壹類工具是壹些能夠通過圖形用戶界面(Gui)來使用的交互式圖形工具。這些基於Gui的工具間時也為多項式擬合和預測以及概率函數介發提供環境。
文中的函數參考或詳解中包含各類函數使用的具體信息。對函數的描述包括函數調用格式、參數選項以及操作符的完整說明。許多函數說明中包括示例、函數算法的說明以及附加閱讀材料的參考等等。
另外，統計工具箱中的函數所采用的數學符號符合以下慣例
線性模型中的參數
E(x) x的期望值，
f(x|a,b) 概率密度函數(x為獨立變量，a、b為固定參數)
F(x|a,b) 累積分布函數
I[(a,b)] 指示(indicator)函數
P和q P為事件發生的概率，
q為事件不發生的概率，故P＝1—q
概率密度函數
對於離散分布和連續分布，其相應的概率密度函數pdf(probility Density Function)
有各自不同的含義。
?離散型隨機變量：它是只有有窮個或可數個可能值的隨機變量，其概率密度函數是
觀察到某特定值的概率。
?連續型隨機變量：如果存在壹非負函數p(x)>=0，使對於任意實數a<=b，x在區 間(a,b)上的取值的概率為
則函數p(x)稱作X的概率密度函數，它滿足
=1
與離散分布的pdf不同，其觀察到果壹特定值的概率為零
pdf具有兩種性質：
pdf具有兩種性質：
對於每個可能的結果pdf為零或壹正數pdf對整個區間的積分為1。
pdf並非單壹函數，而是由壹個或多個參數所表征的函數族。壹旦選定(或估計)了參數值，此函數才唯壹確定。
在統計工具箱中，對每種分布的吵函數進行調用的格式是統壹的*具體調用格式參見表
下面以正態分布為例，說明pdf函數調用方法。
舉例
x＝[—3：0．5：3]；
f ＝ normpdf(x,0,1)
f=
Columns l through 7
0．0044 0．0175 0．0540 0．1295 0．2420
0.3521 03989
Columns 8 through 13
0．352l 0．2420 0．1295 0．0540 0．0l 75 0．0044
pdf函數中的第壹個參數提供所要計算其概率密度的點集(自變量x)；其他參數提供能夠唯壹確定分布的參數值，正態分布需要兩個參數：位置參數(均值u)和散度參數(標準差o )。上例中，計算結果變量f則包含了由參數0和1(u＝0， ＝1)所確定的正態分布函數在x取值上的概率密度。
在函數調用時，其小的參數可能是標量(即數量)、矢量或矩陣，出此征給定參數時，需要註意這些參量的長度(或稱尺寸、大小等)席該相匹配。例如， 分布的曲函數調用：P＝
betacdf(X,A，B)。其市，x、A和B的長度要麽相向(如，它們都是單個標量，或都為包含N個元素的矢量或N*M個元素的距陣)；要麽，其中有的參數(假設為)是單個標量，而其他參量為矢量或矩陣，則MatId自動將X擴展為與其他參量相同長度的矢量或矩陣，此矢
量或矩陣的元素均為常量x的佰。我們稱這種自動操作方式為矢量擴展規則。
舉例：
a=[0.5,0.5]
b=[0.5,1]
c=[0.5,1]
y=betapdf(a,b,c)
y=
0.6366 1.0000
a=[0.5 1; 2 4]
a=
0.5000 1.0000
2.0000 4.0000
y=betapdf(0.5 ,a,a)
y=
0.6366 1.0000
0.5000 2.1875
在其他類似函數中，也通常采用矢量擴展規則對各參量進行操作。以後不再壹—贅述。
除了表中列出的特定分布的pdf函數外，統計工具箱還給出了通用的pdf調用函
數，兇數名即為pdf。
功能：可選分布的通用概率密度函數。
格式：Y＝pdf(‘name’，X，Al，A2，A3)
說明：Y＝pdf(‘name’，X，Al，A2，A3)提供了求取統計工具路中任壹分布的概率密度值功
能。其中，‘na毗’為特定計布的名稱，如‘Normal’、’Gamma’等。X為分
布函數的自變量x的取值矩陣，而A1、A2、A3分別為相應的分布參數值。註
意：由於各種分布所含參數不同，A1、A2、A3的含義各不相同，也並不壹定
都是必須的；對於任壹分布，A1、A2、A3的值具體如何給出，可參見相應分
布的特定概率密度函數。Y存放結果，為概率密度值距陣。
舉例：p ＝ pdf( ‘Norma1 ‘,壹2：2，0,1)
p=
0．0540 0．2420 0．3989 0．2420 0．0540
p = pdf(‘Poi s son’ , 0：4，1：5)
p=
0．3679 0．2707 0．2240 0．1954 0．1755
函數betapdf()
功能：計算 分布的概率密度函數
語法：Y＝betapdf(X，A，B)
說明：
Y＝betapdf(A，B) 根據相應的參數A，B計算X中每個值的 分布概率密度。輸入的向量或矩陣X，A，B必須形式相同。標量輸入將被擴展成和其它輸入具有相同維數
的常數短陣或數組。參數A，B必須全部為正，X中的值必須介於0和1之間。
分布概率密度計算。
a=[0.5 1;2 4]
a=
0.5000 1.0000
2.0000 4.0000
y=betapdf(0.5,a,a)
y=
0.6366 1.0000
1.5000 2.1875
函數binopdf ()
功能：計算二項分布的概率密度
語法：Y＝binopdf(X，N，P)
說明：
Y＝binopdf(X，N，P) 根據相應的參數N，P計算X中每個值的二項分布概率
密度。輸入的向量或矩陣X，N，P必須形式相同。標量輸入將被擴展成和其它輸入具有相
同維數的常數矩陣或數組。參數N必須為正整數，P中的值必須在區間[0,1]上。
壹個質量檢驗員每天檢驗500個零件。如果1％的零件有缺陷，壹天內檢驗
員沒有發現有缺陷零件的概率是多少?檢驗員發現有缺陷零件的數量最有可能是多少?
計算壹天內檢驗員沒有發現有缺陷零件的概率p：
p=binopdf(0,500,0.01)
p=
0. 0066
計算檢驗員發現有缺陷零件的數量：
y＝binopdf([0：500]，500，0．01);
[x,i]=max(y)
x=
0. 1764
i=
6
因為數組下標i＝1時代表發現0個缺陷零件的概率，所以檢驗員發現有缺陷零件的
數量最有可能是i—l＝5。
函數exppdf ()
功能：計算指數分布的概率密度函數
語法：Y＝exppdf(X，MU)
說明：
Y＝exppdf(X，MU) 根據相應的參數MU計算X中每個值的指數分布概率密
度。輸入的向量或短陣X，MU必須形式相同。標量輸入將被擴展成和其它輸入具有相同
維數的常數矩薛或數組。參數MU必須為正數。
指數分布概率密度計算。
y=exppdf(8,1:8)
y=
0．0003 0．0092 0．0232 0．0338 O．0404 0．0439 0．0456 0．0460
y=exppdf(1:8,1:8)
y=
0．3679 0．1839 0．1226 0．0920 0．0736 0．0613 0．0526 0．0460
作圖
畫對數正態分布的概率密度圖
x=(0:0.01:10);
y=lognpdf(x,0,1);
plot(x,y);grid;
xlabel(‘\itx’);ylabel(‘概率密度\itp’)
畫負二項分布的概率密度圖
x=(0:10);
y=nbinpdf(x,3,0.5);
plot(x,y,’k+’);
xlabel(‘\itx’);ylabel(‘概率密度\ity’);
set(gca,’Xlim’,[-0.5,10.5])
比較具有相同自由度(V＝10)的非中心t分布(非中心參數DELTA＝1)和
分布，如圖所示。
x=(-5:0.1:5);
p1=nctpdf(x,10,1);
p=tpdf(x,10);
plot(x,p,'k:',x,p1,'k-')
xlabel('\itx');ylabel('概率密度\itp');
legend('t分布','非中心t分布');
x=(0.01:0.1:10.01);
p1=ncfpdf(x,5,20,10);
p=fpdf(x,5,20);
plot(x,p,'k--',x,p1,'k-');
xlabel('\itx');ylabel('概率密度\itp');
legend('F分布','非中心F分布');
例比較具有相同分子與分母自由度(分別為5和30)的非中心萬分布(參數
＝10)和F分布，如圖1l 3所示。
累積分布因數與逆累積分布因數
連續型隨機變量的累積分布函數cdf，亦稱分布函數，完全取決於其概率密度P(x)，數學表達式為
F(x)=
如果f是概率密度函數．則相應的累積分布函數(cdf)F為
F(x)=P(X<=x)=
累積分布函數F(x)表示所觀察結果小於或等於x的概率。cdf具有兩種性質：
cdf值F(x)的範圍為0壹1;．如果y >=x．則F(y)>=F(x)。
逆累積分布函數icdf返回給定顯著概率條件下假設檢驗的臨界位，實際上是cdf的逆函數。
公統計工具箱中，對每種分布的cdf和icdf函數(名稱以inv結尾)進行調用的格式是統
壹的 另外， 1：具稍提供了通用的累積分布函數cdf和逆累積分布面數icdf，說明如下。
cdf icdf
功能：計算可選分布的累積分布函數和逆累積分布函數。
格式：P＝cdf(‘name’，X，A1，A2，A3)
X＝icdf(‘name’，P,Al,A2.A3)
說明：P＝cdf(‘name’ X，A1，A2，A3)與pdf函數的區別僅在於它是計算某種分布的累積分
布函數值，而不是概率密度值，其他用法與pdf函數相同。
X＝icdf(‘name’，P,Al，A2,A3)為P＝cdf(’name’,X，A1，A2，A3)的逆函數。
舉例：p=cdf(‘Normal’,-2:2,0,1)
p=
0．0228 0．1587 0．500 0 0．84l 3 0．9772
p=cdf(‘Poisson’,0:5,1:6)
p=
0．3679 0．40 60 0．4232 0．4335 0．440 5 0．4457
x ＝ icdf( ‘Normal’，0．1：0．2：0．9,0，1)
x=
-1．28l 6 -0．5244 0 0．5244 1．28l 6
x=icdf(‘Poisson’,0.1:0.2:0.9,1:5)
x=
1 1 3 5 8
下面說明正態分布的cdf函數調用方法
x=[--3:0.1:3];
p=normcdf(x,0,1);
***中，變量P包含出參數0和l所確定的正態分布函數在x中所取值上的累積分布函
數值。所用參數含義與pdf函數類同。
下面說明連續的累積分布函數(cdf)與其逆函數(icdf)的關系。
X＝ [-3：0．1：3]；
xnew = norminv(normcdf(x，0,1), 0，1)；
相反地，進行下述計算：
p ＝ [0．1：0．1：0．9]；
pnew = normcdf(norminv(p, 0,1)，0,1)
請對照壹下x與xnew和p與pnew,可以發現其中的規律。
連續分布中取值點的cdf計算值為。0～1的概率值，這些概率值的逆cdf則給出其原來
的取值點。
對於離散分布，cdf與其icdf的關系更為復雜些。因為很可能不存在某個值(設為x)
使得x的cdf為p.在這種情況下，其icdf返回使cdf(x)幸p的第壹個值x’。如：
x ＝ [0：10]；
y ＝ binoinv[binocdf(x,l 0，0．5), l 0, 0．5]；
請對照—下x與y.
以下的命令說明了進行相反操作所同樣存在的問題。
p ＝ [0．1：0．2：0．9]；
pnew = binocdf(binoinv(p,l 0, 0．5)，l 0, 0.5)
Pnew ＝
0．1719 0．3770 0．6230 0．828l 0．9453
逆函數在假設檢驗和產生置信區間等工作中是很有用的。以下給出獲得正態分布的99％置信區間的方法。
p＝ [0．00 5 0．9951
x ＝ norminv(p, 0，l)
x=
-2.5758 2.5758
變量x中的值即為給定概率區間P的條件下，由參數0和1所確定的止態分布函數的逆函數的結果，p(2)-p(1)=0.99．因此，x給出了標準正態分布的99％置信區間。
逆累積分布函數
MATLAB的統計工具箱提供了21種逆累積分布函數，見下表
函數betainv()
功能：求 分布的逆累積分布函數
語法：X＝betainv(P，A，B)
說明：
x＝betainv(P，A，B) 計算P中概率值的 分布(參數為A和B)逆累積分布函數值。輸入的向量或矩陣P，A，B必須形式相同。標量輸入將被擴展成和其它輸入具有相同維數的矩陣。參數A，B必須全部為正，P中的值必須位於區間[0，1]上。
給定概率P和參數a和b的戶分布的逆累積分布值為
其中
B()為犀函數。輸出結果x中每壹個元素是這樣壹個值，它服從由參數為a和b定義的分布，且其累積分布值為P中相應的概率值。
計算P分布逆分布函數示例。
P＝[0．01 0．5 0．991
x＝betainv(p，10，5)
x=
0.3726 0.6742 0.8981
由上面的結果可以看出，對於參數a＝10，b＝5的雇分布，小於或等於0．3726的值出現的概率為0.0l。類似地，小於或等於0.6742和0.8981的值出現的概率為0．5和0．99。
函數binoitnv()
功能：求二項分布的逆累積分布函數
語法：x＝binoinv(Y，N，P)
說明：
X＝binoiv(Y，N，P) 退回二項累積分布值大於或等於Y的最小的整數值X。
可以認為Y是在N次重復獨立試驗中事件成功X次的概率，其中對於任意給定的壹次試驗成功的概率為P。X中的每個值都是小於或等於N的正整數。
輸入的向量或短陣Y，N，P必須是形式相同。標量輸入將被擴展成和其它輸入具有相同維數的常數矩陣。參數N必須為正整數，P和Y中的值必須位於區間[0，1]上。
如果壹個棒球隊在壹個賽季中有162場比賽，任意壹場比賽獲勝的機會都為50％．那麽這支球隊在壹個賽季中獲勝場次的合理範圍為多少？假定不可思議的結果
10年才偶然出現壹次。
binoinv([0.05 0.95],162,0.5)
ans=
71 91
結果表示這支球隊在壹個賽季中90％的範圍內，獲勝的場次在71和9l之間。
函數expinv()
功能：求指數分布的逆累積分布函數
語法；x＝expinv(P，MU)
說明：
x＝expinv(P，MU) 計算P中概率值的指數分布(參數為MU)逆累積分布值。
輸入的向量或矩陣P，MU必須形式相同。標量輸入將被擴展成和其它輸入具有相同維數的常數矩陣。參數MU必須為正數，P中的值必須位於區間[0，1]上。
指數分布的逆累積分市函數定義為
結果x是表示這樣壹個值，它服從參數為 的指數分布且落在區間[0,x]上的概率為P。
假定燈泡的奉命服從參數 P＝700明日數分布，那麽燈泡壽命的中位數是多少?
expinv(0.50,700)
ans=
485.2030
因此，假定買了壹箱燈泡，如果700小時是燈泡的平均壽命，那麽壹半燈泡將在不超過500小時時就會燒掉。
函數chi2inv()
功能；求 分布的逆累積分市函數
語法；X＝chi2inv(P，V)
說明：
x＝chi2inv(P，V) 計算P中概率值的 分布(參數為V)逆累積分布函數值。
輸入的向量或矩陣P，V必須形式相同。標量輸入將被擴展成和其它輸入具有相同維數的常數矩陣。自由度參數V必須為正整數，P中的值必須位於區間[0,1]上。
給定概率P和自由度參數 的 分布的逆累積分布值為
其中
()為 函數。輸出結果x中每壹個元素是這樣壹個值，它服從由參數 定義的分布，且其累積分布值為P中相應的概率值。
例 找出壹個超過95％樣本值的數，其中樣本服從自由度為10的 分布
x＝chi2inv(0．95，10)
x=
18.3070
由上面的結果可以發現大於18．3的數只有5％的出現機會
函數morminv()
功能：計算正態分布的逆累積分布面數
語法：x＝norminv(P，MU，SIGMA)
說明：
x＝norminv(P，MU，SIGMA) 計算P中概率值的正態分布(參數為MU和SIGMA)逆累積分布函數值。輸入的向量或矩陣P，MU和SIGMA必須形式相同。標量輸入將被擴展成和其它輸入具有相同維數的常數矩陣。SIGMA中的參數值必須為正數，
P中的值必須位於區間[0,1]上。
正態分布的逆累積分布函數定義為
其中
結果x為上面積分等式的解．其中P被賦予想得到的概率值。
例 找壹個區間，使它包含95％的標準正態分布的值。
x＝norminv([0．025 0．975]，0，1)
x=
-1.9600 1.9600
註意區間x不是惟壹符合條件的區間，但它是最小的。
x1=norminv([0.01 0.96],0,1)
x1=
-2.3263 1.7507
區間x1也包含了95％的概率值，但它要比x要大。
函數poissnv()
功能：計算泊松分布的逆累積分布函數
語法：x＝poiesinv(P，LAMBDA)
說明：
X＝poissinv(P，LAMBDA) 返回泊松累積分布值大於或等於P的最小的正整數X。輸入的向量或矩陣P和LAMBDA必須形式相同，輸出X也和它們形式相同。標量輸入將被擴展成和其它輸入具有相同繼數的常數矩陣。參數LAMBDA必須為正數。
例 由某商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數可以用歲數 ＝25的泊松分布來描述，為了有95％以上的把握不使商品脫銷，問商店在每月月底應進該種商品多少件?
Poissinv(0.95,25)
ans=
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