3.3.1 分形統計模型
設分形統計模型：
分形混沌與礦產預測
其中r表示特征尺度，C＞0稱為比例常數，D＞0稱為分維數，N（r）表示尺度大於等於r的數目（當分維數D前面的符號取負號，記為N（≥r））或尺度小於等於r的數目（當分維數D前面的符號取正號，記為N（≤r））.
為了研究方便，（3.3.1）式可分解為下面二式：
分形混沌與礦產預測
許多地質現象具有標度不變的特征.如巖石碎片、斷層、地震、火山噴發、礦藏和油井等.這些現象的頻數和大小之間的分布具有尺度不變性.分形分布的特點要求大於等於或小於等於某壹尺度的數目，與物體大小之間存在冪函數關系，即（3.3.1）式的關系.例如r可表示金品位，N（≥r）表示金品位大於等於r的樣品數目；r也可表示圓的半徑，N（≤r）表示落入半徑為r的圓中的礦體個數.
分形分布的特點要求大於某壹尺度物體的數目，與物體大小之間存在著冪函數關系，地質現象的統計分布中，冪函數分形分布（即：冪函數分布、帕累托分布和齊波夫分布）不是惟壹的壹類，還有如對數分布等其他類型.但是冪函數分形分布是其中惟壹的壹類不含特征尺度的分布.這樣，這些分布可以應用於那些具有標度不變性的地質現象.而標度不變性則提供了應用冪函數分形分布的基礎.
模型的建立，其實是分形（相似性）模型的建立.利用相似性原理，建立模型單元，對預測單元進行分形處理和預測.
為了求出分維數D，將觀測數據（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），繪在雙對數坐標紙上，如果其散點大致分布在壹條直線上的話，分維數D就可以利用直線的斜率求出，也就是說，將觀測數椐（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），代入（3.3.1）式，然後兩邊取對數，（3.3.1）式化為壹元線性回歸模型：
分形混沌與礦產預測
用最小二乘法求出斜率D的估計量，即為分維數.目前幾乎都用此方法（傳統方法）求解分維數D.雖然用該方法求出D較簡單，但結果可能不正確（Bethea，et al.，1985），應該用非線性回歸模型的方法去估計參數C和D.
事實上，（3.3.1）式是非線性回歸模型，其中C，D為未知參數，用非線性回歸模型的中最小二乘法直接求出（3.3.1）式中參數D的估計量也是分維數.用這種新方法求出的分維數D比上面傳統方法（即（3.3.1）式轉化為壹元線性回歸模型（3.3.2））求出的分維數更精確（即誤差更小）.
新方法有以下優點：
（1）使用傳統方法求分維數D，要對原始數據（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），同時作對數變換，但是在大多數情況下，原始數據特別是（r1，r2，…，rn），不適合作對數變換.新方法直接用原始數據求分維數D，因而避免了以上情況出現.
（2）使用新方法可以求出分維數估計量的近似偏差和方差，同時也能求出近似預測偏差和預測方差.使用傳統方法不能得到上述的結果（使用傳統方法求出（3.3.2）式中D的偏差和方差，同使用新方法求出（3.3.1）式中D的偏差和方差有著根本區別）.
（3）使用新方法求出的參數估計量比使用傳統方法求出的參數估計量在擬合分形模型時更好，即剩余平方和更小（剩余平方和是衡量擬合的優良程度的定量指標），並且參數估計量更穩定.
3.3.2 分形統計模型模擬研究
我們在計算機上產生了［0，1］區間上的均勻分布，標準正態分布和對數正態分布的隨機數各10 000個，將每種分布的隨機數分成10組（即每組1000個隨機數，***有30組），用於分形統計模型的模擬研究.
將每組1000個隨機數，按從小到大的次序排列，並把隨機數分布的總區間分成k個子區間，統計進入第i個子區間內的隨機數的頻數NFi（i=1，2，…，k），令，其中r為正整數.
這樣得到了數據（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），將這些數據代入分形統計模型（3.3.1″），應用最小二乘法，可求出分維數估計量.
具體計算結果見表3-1，表3-2和表3-3.
表3-1 均勻分布分維數估計量D^
表3-2 正態分布分維數估計量D^
表3-3 對數正態分布分維數估計量D^
在表3-1，表3-2，表3-3中：①對於均勻分布的隨機數，取k=150，n=26，ri=2i（i=1，2，…，26）；②對於正態分布的隨機數，取k=80，n=21，ri=2i+10（i=1，2，…，21）；③對於對數正態分布的隨機數，取k=100，n=21，ri=2i（i=1，2，…，21）；④對於不同分布的隨機數據，k和r的取值範圍也不相同，主要依據數據（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），在此範圍內，存在無標度區和統計上的要求；⑤隨機數抽取樣本1000個，符合統計推斷的要求條件.
由表3-1，表3-2和表3-3中的數據可推出以下的結果：
（a）用新方法求出分維數估計量比使用傳統方法求出分維數估計量更趨於穩定.因為標準差是數據分散程度的定量描述，標準差越小，數據越集中於平均數附近.
（b）分維數D值可以表征隨機數或樣本之間的結構性.根據分形統計模型（3.3.1″）可看出，D值越小表示隨機數或樣本之間的差異越小，即均勻程度好，反之，D值越大表示隨機數或樣本之間的差異越大，即均勻程度差.均勻分布（均勻程度好）的隨機數分維數（平均值0.1287）小於正態分布（均勻程度居中）的隨機數分維數（平均值0.6853）小於對數正態分布（均勻程度差）的隨機數分維數（平均值0.9762）.以上結論與實際情況符合.
3.3.3 應用實例
西藏羅布莎鉻鐵礦成礦預測.
西藏羅布莎鉻鐵礦礦床是我國目前已知最大的鉻鐵礦礦床，已探明的鉻鐵礦石儲量近500萬t，占全國探明儲量的三分之壹以上.因而，對西藏羅布莎鉻鐵礦礦床進行成礦預測工作具有非常重要的意義.
羅布莎蛇綠巖體地處著名的雅魯藏布江蛇綠巖帶的東段，位於岡底斯火山-巖漿弧的南側，巖體呈向北凸出的弧形展布於晚三疊世巨厚的淺變質砂板巖夾少量結晶灰巖和細碧角斑巖的復理石建造與晚白堊世海相火山巖、放射蟲矽質巖以及第三系山間磨拉石建造之間，巖體平面形態似透鏡狀，局部被斷層錯開，主體呈東西向延伸，長約30km，最寬處約3km（李紫金等，1993）.
通過對該礦床的研究，認為地表礦體、礦群、礦床儲量的空間分布具有較好的分形結構特征即自相似性，可用分形統計（3.3.1′）模型作為第四系覆蓋區下找礦遠景地段礦體、礦群及其資源量的預測模型.
1.地質條件
研究表明，盡管羅布莎礦段與香嘎山礦段礦體出露的標高及在地幔橄欖巖中的位置略有不同、巖石礦石化學成分及物性表現上有所差異，但它們均處於同壹地幔橄欖巖內，屬於同壹成巖成礦作用的產物，原始的構造含礦雜巖帶統壹，經構造解析，認為全區的礦體在同壹構造含礦雜巖帶內.因而，將模型區擴大到整個兩礦段地區，在地質上是可行的.
2.數學條件
羅布莎鉻鐵礦礦床自相似性體系的礦床諸參數表現出自相似性，將觀測數據（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），繪在雙對數坐標系統中（即lgN（r）—lgr），連接各點，曲線存在明顯的直線段，即存在無標度區.自相似性是事物在壹定尺度範圍（無標度區）內不隨觀察尺度變化的性質，無標度區壹部分所得到的結論可以外推到整個無標度區.模型區地表礦體、礦群及其儲量的空間分布在5～40cm的範圍（無標度區）內具較好的分形結構即自相似性.因此，在礦床自相似性體系內，可以將該無標度區的上限外推至55cm，此時分形結構不發生改變或改變不大.
3.模型區與預測區的相似類比
預測的礦體及礦群是第四系覆蓋區下基巖表層的礦體及礦群，預測的資源量是與模型區C+D級儲量對應的礦量.第四系的研究表明，預測區的第四系為殘坡積物及少量的冰磧物，所以認為模型區與預測區地表風化剝蝕狀況及礦體的保存條件近於相似，模型可以外推.
4.資料來源及參數估計
（1）地表礦體
模型區內，在1∶10000地形地質圖上標出的分布於構造含礦雜巖帶內的地表礦體***152個（見圖3-1和圖3-2），把每個礦體看成是以其中心為代表的壹個點（圖3-3和圖3-4）.以礦體分布的重心或中心為圓心，圓心不動，以不同的半徑r畫圓，計算每次落入圓中礦體的個數，記為N（r）（表3-4）.在lgr—lgN（r）坐標中投點，用最小二乘法擬合直線，得直線方程為：
分形混沌與礦產預測
以D（0）=0.7841，C（0）=100.9348=8.6060為叠代初值，使用新方法求得分形統計模型（3.3.1′）式中最小二乘估計量（分維數），量，剩余平方和Q（0.7568，9.4039）=114.6947＜Q0（0.7841，8.6060）=125.3347.最大固有曲率ΓN=0.03418＜0.220=1/（2F1/2（2，6，0.05））（見附錄A）.此時分形統計模型（3.3.1′）固有非線性強度很弱，可以忽略不計.因此分形統計模型（3.3.1′）可作為地表礦體預測的數學模型.即：
分形混沌與礦產預測
表3-4 地表礦體數據
（2）地表礦群
在1∶10000地形地質圖上，模型區構造含礦雜巖帶中的礦群14個.每個礦群可看成是以其中心為代表的壹個點.圓心及半徑的定義與地表礦體的相似，r的取值仍與地表礦體的相同.圓心不動，以不同的半徑r畫圓，計算每次落入圓內的礦群個數，記為N（r）（表3-5），在lgr—lgN（r）坐標中投點，用最小二乘法擬合直線，得直線方程為：
分形混沌與礦產預測
以D（0）=0.8982，C（0）=10-0.3130=0.4864為叠代初值，使用新方法求得分形統計模型（3.3.1′）式中最小二乘估計量（分維數），量，剩余平方和Q（0.9298，0.4384）=1.3014＜Q0（0.8982，0.4864）=1.38，最大固有曲率ΓN=0.04715＜0.2205=1/（2F1/2（2，6，0.05））（見附錄A）.此時分形統計模型（3.3.1′）固有非線性強度很弱，可以忽略不計，因此分形統計模型（3.3.1′）可作為地表礦群預測的數學模型.即：
分形混沌與礦產預測
表3-5 地表礦群數據
圖3-1 羅布莎地區構造略圖
圖3-2 羅布莎—章嘎構造剖面圖
（3）礦床儲量
在1∶10000地形地質圖上，對模型區內構造含礦雜巖帶裏的C+D級鉻鐵礦石儲量4211418t的分布資料進行研究.圓心及半徑的定義與地表礦體的相似，圓心不動，計算在不同的r半徑下落入球（實際為圓，因為將儲量的分布投影到1∶10000地形地質圖上）內的C+D級礦石儲量，記為N（r）（表3-6），在lgr—lgN（r）坐標中投點，用最小二乘法擬合直線，得直線方程為：
分形混沌與礦產預測
以D（0）=0.7048，C（0）=105.5101=323668.176為叠代初值，使用新方法求得分形統計模型（3.3.1′）式中最小二乘估計量（分維數），剩余平方和Q（0.6654，367166.9）=0.3350161×1012＜Q0（0.7048，323668.176）=0.3551732×1012，最大固有曲率ΓN=0.06086＜0.2205=1/（2F1/2（2，6，0.05））.此時分形統計模型（3.3.1′）固有非線性強度很弱，可以忽略不計，因此分形統計模型（3.3.1′）可作為礦床儲量預測的數學模型.
即：
分形混沌與礦產預測
表3-6 地表礦石儲量數據
圖3-3 見礦孔在水平投影面上的投影點圖
5.預測結果及參數意義的解釋
以礦群上最大的礦體為圓心，r=5，10，15，…，50，55cm（1∶10000地形地質圖上），將r回代入上面（3.3.3），（3.3.4）和（3.3.5）式中，計算在r=55cm總的數量減去已知數量即為香嘎山礦段第四系下預測的資源量.結果為：“地表”礦體43個，“地表”礦群4個（取整），資源量（鉻鐵礦石）：1071815.342t.礦石質量：礦石以致密塊狀為主，少量為稠密浸染狀礦石，w（Cr2O3）=52.7；鉑族元素總量平均品位為0.497g/t，總資源量為532.692kg.預測結果與常規方法計算結果較壹致（見圖3-5，圖3-6和圖3-7）.
密度定義為：ρ=N（r）/（πr2）=（C/π）rD-2
當 D=2.0 時，密度ρ=C/π.表明密度均勻；
當 D＞2.0 時，密度ρ隨著r的增大而增大；
當 D＜2.0 時，密度ρ隨著r的增大而減少；
當 r=1.0 時，C=πρ=N（1）.
0.6654（礦床儲量分維數）＜0.7568（地表礦體分維數）＜0.9298（地表礦群分維數）＜2表明：隨著r的增大，礦床儲量，地表礦體和地表礦群的密度逐步減少.
因此分維數D定量表達了礦體分布的密度變化趨勢.C表示礦體分布的初始值，它們對礦產資源勘查、預測與評價具有重要的指導意義.
圖3-4 礦體中心在E—W向垂直投影面上的投影點圖
圖3-5 礦體原始數據曲線擬合圖
圖3-6 地表礦群原始數據曲線擬合圖
圖3-7 礦床儲量原始數據曲線擬合圖