投資中最重要的公式之——凱利公式
書生413
醉舞經閣半卷書, 坐井說天闊
來自專欄股市那些事兒
什麽是凱利公式呢？
凱利公式是壹個獨立重復賭局中，使本金的長期增長率最快的的投註策略。“獨立重復”強調每次下註之間的獨立不相關，“長期”強調排除偶然因素而站在概率的角度上看。
凱利公式的內容是什麽呢？
假設妳做壹次投資，且妳贏的概率為 P，輸的概率為（1-P），贏時盈利百分比a,輸時虧損百分比b，則那麽每次最優的投資倉位C為：
那麽這個公式的是否正確呢？
我們用上快要遺忘的數學知識來做壹個證明：
假如投資了N次，每次倉位百分比h，盈利了M次，虧損了N-M次，初始資金為Z0，則N次投資後總資產Zn為：
這個公式壹看就頭暈對吧？那麽我們把它美化（兩邊同時取對數）壹下，就變為：
根據高中數學解題經驗，進壹步變形，反正就是玩兒：
然後根據大學高數的求極限知識，當N 趨於無窮，M/n = P，(N-M)/n = (1-P)，所以上面式子變為：
再用上大學高數的導數知識，上面這個函數對h的二階導數小於0（這個讀者自行證明了，正好鞏固壹下自己所學的數學知識），那麽可在它壹階導數等於0時，可取得最大值。它的壹階導數為：
接著，就令其等於0，既有：
最後用上初中知識壹頓化簡後：
證必！
顯然公式 P*a - (1-P)*b為期望E。
令 b為1，即是說虧光本金，那麽有：
簡單說：只要有虧光資金的概率（1-P）存在，則不管a（盈利）有多大，都不要投入比例超過P的資金。也即是說，只要虧光的概率不是0，就壹定不要滿倉；只要虧光的概率達0.5，就壹定不要超過半倉——哪怕有10倍、20倍利潤的可能。此結論對期貨、期權、配股權證、放貸等投資特別有意義。許多人在期貨、期權、外匯等交易中損失巨大，或者玩不了多久就賠光出場，原因就在於他們受到可能的高額利潤誘惑，持倉比例往往過大[1]。