美國氣象學家愛德華·羅倫茲（Edward Lorenz）1963年在壹篇提交紐約科學院的論文中分析了這個效應。“壹個氣象學家提及，如果這個理論被證明正確，壹個海鷗扇動翅膀足以永遠改變天氣變化。”在以後的演講和論文中他用了更加有詩意的蝴蝶。對於這個效應最常見的闡述是：“壹個蝴蝶在巴西輕拍翅膀，可以導致壹個月後德克薩斯州的壹場龍卷風。”
這句話的來源，是由於這位氣象學家制作了壹個電腦程序，可以模擬氣候的變化，並用圖像來表示。最後他發現，圖像是混沌的，而且十分像壹只蝴蝶張開的雙翅，因而他形象的將這壹圖形以“蝴蝶扇動翅膀”的方式進行闡釋，於是便有了上述的說法。
蝴蝶效應通常用於天氣，股票市場等在壹定時段難於預測的比較復雜的系統中。此效應說明，事物發展的結果，對初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的極小偏差，將會引起結果的極大差異。
蝴蝶效應在社會學界用來說明：壹個壞的微小的機制，如果不加以及時地引導、調節，會給社會帶來非常大的危害，戲稱為“龍卷風”或“風暴”；壹個好的微小的機制，只要正確指引，經過壹段時間的努力，將會產生轟動效應，或稱為“革命”。
蝴蝶效應在混沌學中也常出現。又被稱作非線性。
詳述
蝴蝶效應是氣象學家洛倫茲1963年提出來的。其大意為：壹只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩周後引起美國德克薩斯引起壹場龍卷風。其原因在於：蝴蝶翅膀的運動，導致其身邊的空氣系統發生變化，並引起微弱氣流的產生，而微弱氣流的產生又會引起它四周空氣或其他系統產生相應的變化，由此引起連鎖反映，最終導致其他系統的極大變化。此效應說明，事物發展的結果，對初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的極小偏差，將會引起結果的極大差異。
蝴蝶效應是混沌學理論中的壹個概念。它是指對初始條件敏感性的壹種依賴現象。輸入端微小的差別會迅速放大到輸出端。蝴蝶效應在經濟生活中比比皆是：中國宣布發射導彈，港臺100億美元流向美國。“蝴蝶效應”也可稱“臺球效應”，它是“混沌性系統”對初值極為敏感的形象化術語，也是非線性系統在壹定條件（可稱為“臨界性條件”或“閾值條件”）出現混沌現象的直接原因。
壹、蝴蝶效應的由來蝴蝶效應來源於美國氣象學家洛侖茲60年代初的發現。在《混沌學傳奇》與《分形論——奇異性探索》等書中皆有這樣的描述：“1961年冬季的壹天，洛侖茲（E·Lorenz）在皇家麥克比型計算機上進行關於天氣預報的計算。為了預報天氣，他用計算機求解仿真地球大氣的13個方程式。為了考察壹個很長的序列，他走了壹條捷徑，沒有令計算機從頭運行，而是從中途開始。他把上次的輸出直接打入作為計算的初值，然後他穿過大廳下樓，去喝咖啡。壹小時後，他回來時發生了出乎意料的事，他發現天氣變化同上壹次的模式迅速偏離，在短時間內，相似性完全消失了。進壹步的計算表明，輸入的細微差異可能很快成為輸出的巨大差別。計算機沒有毛病，於是，洛倫茲（Lorenz）認定，他發現了新的現象：“對初始值的極端不穩定性”，即：“混沌”，又稱“蝴蝶效應”，亞洲蝴蝶拍拍翅膀，將使美洲幾個月後出現比狂風還厲害的龍卷風！這個發現非同小可，以致科學家都不理解，幾家科學雜誌也都拒登他的文章，認為“違背常理”：相近的初值代入確定的方程，結果也應相近才對，怎麽能大大遠離呢！其原因在於：蝴蝶翅膀的運動，導致其身邊的空氣系統發生變化，並引起微弱氣流的產生，而微弱氣流的產生又會引起它四周空氣或其他系統產生相應的變化，由此引起連鎖反應，最終導致其他系統的極大變化。線性，指量與量之間按比例、成直線的關系，在空間和時間上代表規則和光滑的運動；而非線性則指不按比例、不成直線的關系，代表不規則的運動和突變。如問：兩個眼睛的視敏度是壹個眼睛的幾倍？很容易想到的是兩倍，可實際是6－10倍！這就是非線性：1＋1不等於2。激光的生成就是非線性的！當外加電壓較小時，激光器猶如普通電燈，光向四面八方散射；而當外加電壓達到某壹定值時，會突然出現壹種全新現象：受激原子好象聽到“向右看齊”的命令，發射出相位和方向都壹致的單色光，就是激光。非線性的特點是：橫斷各個專業，滲透各個領域，幾乎可以說是：“無處不在時時有。”如：天體運動存在混沌；電、光與聲波的振蕩，會突陷混沌；地磁場在400萬年間，方向突變16次，也是由於混沌。甚至人類自己，原來都是非線性的：與傳統的想法相反，健康人的腦電圖和心臟跳動並不是規則的，而是混沌的，混沌正是生命力的表現，混沌系統對外界的刺激反應，比非混沌系統快。由此可見，非線性就在我們身邊，躲也躲不掉了。這種現象被稱為對初始條件的敏感依賴性。在氣象預報中，稱為‘蝴蝶效應’。……”“洛侖茲最初使用的是海鷗效應。”“洛侖茲1979年12月29日在華盛頓的美國科學促進會的演講：‘可預言性：壹只蝴蝶在巴西扇動翅膀會在得克薩斯引起龍卷風嗎？’”
二、蝴蝶效應的含義某地上空壹只小小的蝴蝶扇動翅膀而擾動了空氣，長時間後可能導致遙遠的彼地發生壹場暴風雨，以此比喻長時期大範圍天氣預報往往因壹點點微小的因素造成難以預測的嚴重後果。微小的偏差是難以避免的，從而使長期天氣預報具有不可預測性或不準確性。這如同打臺球、下棋及其他人類活動，往往“差之毫厘，失之千裏”、“壹著不慎，滿盤皆輸”。長時期大範圍天氣預報是對於地球大氣這個復雜系統進行觀測計算與分析判斷，它受到地球大氣溫度、濕度、壓強諸多隨時隨地變化的因素的影響與制約，可想其綜合效果的預測是難以精確無誤的、蝴蝶效應是在所必然的．我們人類研究的對象還涉及到其他復雜系統（包括“自然體系”與“社會體系”），其內部也是諸多因素交相制約錯綜復雜，其“相應的蝴蝶效應”也是在所必然的。“今天的蝴蝶效應”或者“廣義的蝴蝶效應”已不限於當初洛侖茲的蝴蝶效應僅對天氣預報而言，而是壹切復雜系統對初值極為敏感性的代名詞或同義語，其含義是：對於壹切復雜系統，在壹定的“閾值條件”下，其長時期大範圍的未來行為，對初始條件數值的微小變動或偏差極為敏感，即初值稍有變動或偏差，將導致未來前景的巨大差異，這往往是難以預測的或者說帶有壹定的隨機。
三、產生蝴蝶效應的內在機制所謂復雜系統，是指非線性系統且在臨界性條件下呈現混沌現象或混沌性行為的系統。非線性系統的動力學方程中含有非線性項，它是非線性系統內部多因素交叉耦合作用機制的數學描述。正是由於這種“諸多因素的交叉耦合作用機制”，才導致復雜系統的初值敏感性即蝴蝶效應，才導致復雜系統呈現混沌性行為。目前，非線性學及混沌學的研究方興未艾，這標誌人類對自然與社會現象的認識正在向更為深入復雜的階段過渡與進化。從貶義的角度看，蝴蝶效應往往給人壹種對未來行為不可預測的危機感，但從褒義的角度看，蝴蝶效應使我們有可能“慎之毫厘，得之千裏”，從而可能“駕馭混沌”並能以小的代價換得未來的巨大“福果”。蝶效應用的是比喻的手法，並不是說蝴蝶引起的颶風。
12月，洛倫茲（Lorenz）在華盛頓的美國科學促進會的壹次講演中提出：壹只蝴蝶在巴西扇動翅膀，有可能會在美國的德克薩斯引起壹場龍卷風。他的演講和結論給人們留下了極其深刻的印象。從此以後，所謂“蝴蝶效應”之說就不脛而走，名聲遠揚了。
“蝴蝶效應”之所以令人著迷、令人激動、發人深省，不但在於其大膽的想象力和迷人的美學色彩，更在於其深刻的科學內涵和內在的哲學魅力。混沌理論認為在混沌系統中，初始條件的十分微小的變化經過不斷放大，對其未來狀態會造成極其巨大的差別。我們可以用在西方流傳的壹首民謠對此作形象的說明。
這首民謠說：
丟失壹個釘子，壞了壹只蹄鐵；
壞了壹只蹄鐵，折了壹匹戰馬；
折了壹匹戰馬，傷了壹位騎士；
傷了壹位騎士，輸了壹場戰鬥；
輸了壹場戰鬥，亡了壹個帝國。
馬蹄鐵上壹個釘子是否會丟失，本是初始條件的十分微小的變化，但其“長期”效應卻是壹個帝國存與亡的根本差別。這就是軍事和政治領域中的所謂“蝴蝶效應”。有點不可思議，但是確實能夠造成這樣的惡果。壹個明智的領導人壹定要防微杜漸，看似壹些極微小的事情卻有可能造成集體內部的分崩離析，那時豈不是悔之晚矣？橫過深谷的吊橋，常從壹根細線拴個小石頭開始。
生死書簡評：同理，看似平常的肉食習慣，卻會導致惡性疾病、生命早逝，乃至瀆職、犯罪、戰爭、災害、道德淪喪、世界饑餓、環境破壞、森林水土流失……。佛經中講：壹失人身，萬劫不復。人身非常難獲得，獲得人身的生命比起沒有獲得人身的生命的數量，太少太少了，以至於佛陀用手掌上的土和大地上的土做對比。而假如因為惡業失去人身不幸墮入畜生、餓鬼、地獄這三惡道，要想再做回人，就非常非常困難了，佛陀用盲龜遇浮孔來比喻：茫茫大海中，壹片木板，中間有壹孔。壹只瞎了眼的烏龜，每百年浮出水面壹次，頭剛好插在木板的孔中。幾率甚微甚微！這也是蝴蝶效應吧。珍惜人生！人身難得今已得，佛法難聞今已聞。此身不向今生度，更待何時度此身？
“蝴蝶效應”的理論以實證手段證明了中國1300多年前《禮記·經解》：“《易》曰：‘君子慎始，差若毫厘，繆以千裏。’”《魏書·樂誌》：“但氣有盈虛，黍有巨細，差之毫厘，失之千裏。”的哲學思想，從這點說明感知比認知來得直接，其所謂的吸引子就是《混元場論》中元外場作用，其《混沌學》的非線性理論就是《混元場論》場中對象元獨立的絕對計數時間體系。
中國《韓非子·喻老》昔者紂為象箸而箕子怖。以為象箸必不加於土鉶，必將犀玉之杯。象箸玉杯必不羹菽藿，則必旄象豹胎。旄象豹胎必不衣短褐而食於茅屋之下，則錦衣九重，廣室高臺。吾畏其卒，故怖其始。居五年，紂為肉圃，設炮烙，登糟邱，臨酒池，紂遂以亡。故箕子見象箸以知天下之禍，故曰：『見小曰明。』
商紂的王叔箕子見到紂王用象牙筷子就很害怕，因為有了象牙筷子，杯子也換成發犀玉杯，有了象牙筷子犀玉杯就不吃粗食豆湯，要吃牛肉，象肉，豹肉，未出世的胎肉等精美的食物。吃牛肉象肉豹肉胎肉，就不會穿著短的粗布衣在茅屋中食飯，就穿著很多華衣美服，在華麗的宮殿進食。箕子怕他亡國。
有點不可思議，但是確實能夠造成這樣的惡果。壹個明智的領導人壹定要防微杜漸，看似壹些極微小的事情卻有可能造成集體內部的分崩離析，那時豈不是悔之晚矣？橫過深谷的吊橋，常從壹根細線拴個小石頭開始。
其原因在於：蝴蝶翅膀的運動，導致其身邊的空氣系統發生變化，並引起微弱氣流的產生，而微弱氣流的產生又會引起它四周空氣或其他系統產生相應的變化，由此引起連鎖反應，最終導致其他系統的極大變化。
此效應說明，事物發展的結果，對初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的極小偏差，將會引起結果的極大差異。如：天體運動存在混沌；電、光與聲波的振蕩，會突陷混沌；地磁場在400萬年間，方向突變16次，也是由於混沌。甚至人類自己，原來都是非線性的：與傳統的想法相反，健康人的腦電圖和心臟跳動並不是規則的，而是混沌的，混沌正是生命力的表現，混沌系統對外界的刺激反應，比非混沌系統快。
由此可見，非線性就在我們身邊，躲也躲不掉了。
科學家給混沌下的定義是：混沌是指發生在確定性系統中的貌似隨機的不規則運動，壹個確定性理論描述的系統，其行為卻表現為不確定性壹不可重復、不可預測，這就是混沌現象。進壹步研究表明，混沌是非線性動力系統的固有特性，是非線性系統普遍存在的現象。牛頓確定性理論能夠完美處理的多為線性系統，而線性系統大多是由非線性系統簡化來的。因此，在現實生活和實際工程技術問題中，混沌是無處不在的。洛倫茨第壹次發現混沌現象，至今，關於混沌的研究壹直是科學家、社會學家、人文學家所關註的。研究混沌，其實就是發現無序中的有序，但今天的世界仍存在著太多的無法預測，混沌，這個話題也必將成為全人類性的問題。在此，由於知識有限，我們只是做了極其膚淺的介紹和引入，希望有更多的同學能走進混沌之門，以更深邃的眼光來審視這個世界。今後或許能致力於此方面的研究。
蝴蝶效應與混沌學理論
蝴蝶效應是混沌學理論中的壹個概念。它是指對初始條件敏感性的壹種依賴現象：輸入端微小的差別會迅速放大到輸出端，蝴蝶效應在經濟生活中比比皆是。
“蝴蝶效應”也可稱“臺球效應”，它是“混沌性系統”對初值極為敏感的形象化術語，也是非線性系統在壹定條件（可稱為“臨界性條件”或“閾值條件”）出現混沌現象的直接原因。
蝴蝶效應舉例
1998年亞洲發生地金融危機和美國曾經發生地股市風暴實際上就是經濟運作中地“蝴蝶效應”；1998年太平洋上出現地“厄爾尼諾”現象就是大氣運動引起地“蝴蝶效應”。“蝴蝶效應”是混沌運動地表現形式。當我們進而考察生命現象時，既非完全周期，又非純粹隨機，它們既有“鎖頻”到自然界周期過程(季節、晝夜等)地壹面，又保持著內在地“自治”性質。蝴蝶效應也是混沌學理論中地壹個概念。它是指對初始條件敏感性地壹種依賴現象：輸入端微小地差別會迅速放大到輸出端壓倒壹切地差別，好像壹只蝴蝶今天在北京扇扇翅膀，可能在大氣中引發壹系列事件，從而導致某個月紐約壹場暴風雨地發生。
KAM定理
cora 發表於: 2005-7-19 09:40 來源: 中國振動聯盟
哈密爾頓系統的壹個重要問題就是穩定性問題,這類問題在幾何上的特點是:他的解在相空間上是保測的,其特征方程的根是純虛數,所以不能用Poincare,Liapunov漸近穩定性理論,而必須用KAM定理來加以研究,這是壹種關於整體穩定的論斷,是牛頓力學發展史上最重大的突破. 辛幾何在數值分析中的應用是馮康於1984年在北京召開的國際微分幾何和微分方程會議上首先提出的.它是基於分析力學中的基本定理:系統的解是壹個單參數的保測變換(辛變換),從而開創了哈密爾頓力學計算的新方法.
KAM定理
1960年前後，前蘇聯數學家柯爾莫果洛夫（Kolmogorov，A.N.）、阿諾德（Arnold，V.I.）和莫塞爾（Moser，J.）提出並證明了以他們的姓氏的字頭命名的KAM定理。這個定理的基本思想是1954年柯爾莫果洛夫在阿姆斯特丹舉行的國際數學會議上宣讀的《在具有小改變量的哈密頓函數中條件周期運動的保持性》短文中提出的。後來他的學生阿諾德做出了嚴格的證明，莫塞爾又推廣了這些結果。
假定系統的哈密頓函數分為兩部分
H = H0(Ji) + εV(Ji,θi)
其中H0部分是可積的，V是使H變得不可積的擾動，只要ε很小，這就是壹個弱不可積系統。KAM定理斷言，在擾動較小，V足夠光滑，離開***振條件壹定距離三個條件***同成立下，對於系統的大多數初始條件，弱不可積系統的運動圖象與可積系統基本相同。可積系統的運動限制在由N個運動不變量決定的N維環面上，而弱不可積系統的絕大多數軌道仍然限制在稍有變形的N維環面上，這些環面並不消失，只有輕微的變形，稱為不變環面。不過，只要有非零的擾動，總會有壹些軌道逃離不變環面，出現不穩定、隨機性的特征。