關鍵詞：混沌振蕩；延遲反饋控制；電力系統穩定性
CONTROLLING POWER SYSTEM CHAOTIC OSCILLATION BY
TIME-DELAYED FEEDBACK
ABSTRACT: Chaos is an inherent phenomenon of nonlinear systems. Power system is a typical nonlinear system where complicated chaotic oscillations exist and threaten the secure and stable operation of power systems. Here, the power system chaotic oscillation is controlled by one of chaotic control ways, i.e., time-delayed feedback control (DFC), and the delayed time and gain coefficient are determined by Melnikov’s method. Simulation result shows that choosing proper delayed time and gain coefficient the unstable periodic orbits (UPO) of the system can be ballasted and the chaos can be eliminated, and the system can be changed from unstable to stable. Because the additional reference signal is not necessary, the delayed time is not related to the period of UPO and should not be the integral multiple of the period of UPO, so the presented method is simple and easy to apply.
KEY WORDS: Chaotic oscillation；Time-delayed feedback control； Power system stability
1 引言
電力系統是典型的非線性系統，具有復雜的動 力學行為，如混沌和分岔，它們對電力系統構成了潛在的威脅，已引起國內外學者的高度重視[1]。
混沌是由確定性非線性系統產生、對初值極為敏感、具有內在隨機性和長期預測不可能性的往復非周期運動。隨著人們對混沌現象認識的深入，混沌的控制方法應運而生。自從20世紀90年代初出現了混沌控制的OGY(Ott，Grebogi，Yorke)法(參數擾動法)以來，混沌控制受到廣泛的關註，相繼出現了偶然比例反饋(Occasional Proportional Feedback，OPF)、自適應控制、線性反饋控制、自控制反饋控制等方法 [2]。在這些方法中，由K. Pyragas提出的延遲反饋控制法(Time-delayed Feedback Control，DFC)具有廣泛的適應性，它利用簡單的反饋來鎮定混沌吸引子不穩定的周期軌道(Unstable Periodic Orbits，UPO)，既適用於低維系統混沌的控制，也適用於高維系統和無限維延遲微分動力系統混沌的控制，甚至可用於時空混沌的控制[3]。
研究電力系統混沌控制的論文目前尚不多見，文[4]、[5]分別采用變量直接線性反饋和非線性系統的逆系統法控制混沌，但前者需要確定目標軌道，後者實現起來有壹定的難度。本文采用延遲反饋控制法研究電力系統混沌控制，它避免了目標軌道的確定，控制器簡單，易於工程實現。其中的延遲時間和反饋系數可通過Melnikov方法來確定。仿真結果表明，該方法具有較好的鎮定效果。
2 電力系統振蕩的混沌性態
式中 δ、ω為等值發電機的功角和角速度增量；H、D為等值轉動慣量和等值阻尼系數；Ps、Pm為電磁功率和機械功率；Pe為擾動功率幅值；β為擾動功率的頻率。
式(1)中，取H=100、Ps=100、D=2、Pm=20、β=1[7]，用MATLAB中的simulink進行仿真，圖1、圖2是Pe=27.545和Pe=27.546時的系統相平面和 曲線。圖1表明當擾動達到壹定幅度時系統處在混沌狀態，其軌道運動是遍歷的，功率譜密度是頻率的連續函數[5]。圖2表明當擾動幅度Pe再有個微小增加，系統的δ(t) 將不斷增大，系統失去穩定。如何消除上述混沌現象、保證系統穩定運行是本文研究的內容。
3 延遲反饋控制
延遲反饋控制器為
式中 ω(t)、ω(t-τ) 分別為角速度增量及其延遲量；τ為延遲時間；K為反饋系數。將式(2)直接加到式(1)的第2式後，得
式(3)是把輸出信號以特定的方式反饋給輸入信號來實現控制，該反饋以輸出信號與延遲輸出信號之差作為控制信號，反饋控制框圖如圖3所示[2]。這種反饋僅需要壹條延遲線，它的反饋增益矩陣可以是奇異矩陣，其可控性分析見文獻[8]。這種反饋控制方法的可行性在於：當對某個變量進行負反饋操作時，抑制了該變量中所包含的各個不穩定模的發散性質。由於所有不穩定模在該變量方向上都有分量，該單壹變量上的負反饋就有可能有效地抑制所有不穩定模，從而達到穩定目標狀態的目的。
4 延遲時間τ 和反饋系數K的確定
為實現所期望的UPO穩定化，在實驗中僅需調節延遲時間τ 和反饋系數K，但要確定這兩個參數並非易事[2]。文獻[8-11]指出延遲時間τ 必須是UPO周期的整數倍，文獻[9]還給出了壹種控制自治系統混沌時τ 的計算方法。然而，文獻[3]根據Melnikov方法分析延遲反饋控制的機理，得出τ 不必是UPO周期的整數倍，它與UPO的周期無關的結論，從而給τ 和K的確定帶來方便。下面根據這壹方法，求取利用延遲反饋來控制式(1)描述的系統混沌時的延遲時間τ和反饋系數K。
這樣，便可應用Melnikov函數對系統進行分析。當ε=0時，Hamilton系統為
其Hamilton量(或稱Hamilton函數)為
式(7)是壹能量函數，代表等值發電機的動能，1-cosx 代表勢能，h代表能量常數。
式(6)的中心點為(0，0)，並有點p1=(-π，0)和點p2=(π，0)粘合而成的雙曲鞍點。當h=2時，存在兩條聯結雙曲鞍點的同宿軌道，其參數方程為[12]
則式(5)描述系統的Poincaré映射在不動點p1的不穩定流形與不動點p2的穩定流形將橫截相交。
對於,其Melnikov函數為
如果
則系統(5)的Poincaré映射在不動點p1的穩定流形與不動點p2的不穩定流形將橫截相交。如果系統參數同時滿足式(10)和式(12)，即
如果選擇參數τ和K不滿足上述關系，則混沌產生的條件被破壞，穩定流形和不穩定流形不再橫截相交，從而消除混沌。而且，延遲時間τ 不必是UPO周期的整數倍，它與UPO的周期無關。
從 Ψ(τ1)曲線(如圖4所示)可知，當τ1≥0.013s時，延遲反饋的作用明顯，較小的反饋增益可獲得較好的控制效果。
5 數字仿真結果
下面對式(3)描述的系統進行數值仿真。仍采用式(1)的數據，如果取τ1=0.013s，則τ=τ1.根據式(14)，當K≥0.26時，系統的混沌將被破壞，受控系統由混沌狀態轉為周期狀態，系統進入穩態後出現穩定的周期1運動(如圖5所示)，采用同樣的反饋參數還能使失穩的系統進入穩定的周期1運動(如圖6所示)。
6 結論
延遲反饋控制可以鎮定電力系統的混沌運動，它取當前信號與τ 時間以前的輸出信號之差作為反饋信號的來源，無需外加參考信號。由於延遲反饋產生壹個作用明顯的擾動項，使得穩定流形和不穩定流形不再橫截相交，從而達到控制混沌的目的。
在控制電力系統混沌振蕩時，不需要對系統模型中的所有方程施加延遲反饋，反饋增益矩陣可以是奇異的。延遲時間τ不必是UPO周期的整數倍，它與UPO的周期無關。所以，本文提出的方法簡單有效，用簡單的模擬電路即可實現[11]。
參考文獻
[1] 薛禺勝，周海強，顧曉榮(Xue Yusheng，Zhou Haiqiang，Gu Xiaorong)．電力系統分岔與混沌研究述評(A review of bifurcation and chaos researches in power systems)[J]．電力系統自動化(Automation of Electric Power Systems)，2002，26(16)：9-15．
[2] 劉向東，黃文虎(Liu Xiangdong，Huang Wenhu)．混沌系統延遲反饋控制的理論與實驗研究(Delayed feedback control of chaotic systems and its theoretical and experimental researches)[J]．力學進展(Advances in Mechanics)，2001，31(1)：18-32．
[3] 蔡朝洪，須文波，徐振源，等(Cai Chaohong，Xu Wenbo，Xu Zhenyuan et al)．延遲反饋引導混沌系統到周期解(Directing chaotic dynamics towards periodic motion by time-delayed feedback control)[J]．控制與決策(Control and Decision)，2002，17(4)：457-460．
[4] 張強，王寶華(Zhang Qiang，Wang Baohua)．基於變量反饋的電力系統混沌振蕩控制(Chaos control with variable feedback in power system)[J]．電力自動化設備(Electric Power Automation Equipment)，2002，22(10)：6-8．
[5] 王寶華，張強，蘇榮興(Wang Baohua，Zhang Qiang，Su Rongxing)．電力系統混沌振蕩的逆系統方法控制(Chaotic oscillation control of electric power system based on inverse system method)[J]．南京工程學院學報(Journal of Nanjing Institute of Technology)，2002，2(4)：8-11．
[6] 張強(Zhang Qiang)．電力系統非線性振蕩研究(Study on nonlinear oscillations of electric power system)[J]．電力自動化設備(Electric Power Automation Equipment)，2002，22(5)：17-19．
[7] 張衛東，張偉年(Zhang Weidong，Zhang Weinian)．電力系統混沌振蕩的參數分析(Analysis of parameters for chaotic power systems)[J]．電網技術(Power System Technology)，2000，24(12)： 17-20．
[8] 胡崗，蕭井華，鄭誌剛． 混沌控制 [M]．上海：上海科技教育出版社，2000．
[9] Chen G R，Yu X H．On time-delayed feedback control of chaotic system[J]．IEEE Trans on Circuits and Systems I：Fundamental Theory and Applications，1999，46(6)：767-772．
[10] 王光瑞，於熙齡，陳式剛．混沌的控制、同步與利用[M]．北京：國防工業出版社，2001．
[11] 關新平，範正平，陳彩連，等．混沌控制及其在保密通信中的應用[M]．北京：國防工業出版社，2002．
[12] 劉增榮．混沌的微擾判據[M]．上海：上海科技教育出版社，1994．