通俗的理解伽馬(gamma)函數，具體如下：
我為什麽要在乎garmma分布？
使用伽馬函數定義了許多概率分布，例如伽馬分布，Beta分布，狄利克雷分布，卡方分布和學生t分布等。對於數據科學家，機器學習工程師，研究人員來說，伽馬函數可能是壹種最廣泛使用的函數，因為它已在許多分布中使用。
然後將這些分布用於貝葉斯推理，隨機過程（例如排隊模型），生成統計模型（例如潛在狄利克雷分配）和變分推理。因此，如果您很好地了解了Garmma函數，您將對其中出現的許多應用程序有更好的了解！
1、為什麽需要伽瑪函數？
因為我們要泛化階乘！
階乘函數僅針對離散點（對於正整數-上圖中的黑點）定義，但是我們希望連接黑點。我們想將階乘函數擴展到所有復數。階乘的簡單公式x！=1*2…x，不能直接用於小數值，因為它僅在x是整數時才有效。因此，數學家壹直在尋找...“什麽樣的function將這些點平滑地連接起來，並為我們提供所有實際值的階乘？”
但是，他們找不到可以表示x的和，乘積，冪，指數或對數的*有限*組合！直到…的實數。
2、歐拉發現了伽瑪函數。（在18世紀）
上面的公式用於找到z的任何實數值的Gamma函數的值。假設您要計算Γ（4.8）。您將如何解決上述整合？可以手動計算Γ（4.8）嗎？也許使用零件積分？
試試看，讓我知道您是否找到有趣的方式！對於我（以及到目前為止的許多其他人）而言，沒有快速簡便的方法手動評估分數的Gamma函數。好吧，那麽就不用分析了。您能否實現從0到無窮大的積分-以編程方式添加術語“無限次”？
您可以通過幾種方法來實現。最常用的兩種實現是斯特林近似和Lanczos近似。
[For implementation addicts:]For implementation addicts:the codes of Gamma function(mostly Lanczos approximation)in60+different language- C,C++,C#,python,java,etc.
讓我們計算Γ（4.8）使用計算機在已經實現的。
我們得到了17.837。正如我們所期望的，17.837介於3！（=Γ（4）=6）和4！（=Γ（5）=24）之間。（當z是自然數時，Γ（z）=（z-1）！我們將很快證明這壹點。）與只需要正整數的階乘不同，我們可以將任何實數/復數輸入z，包括負數。Gamma函數連接黑點，並很好地繪制曲線。
Confusion-buster:我們正在積分從0到無窮大的x（NOT z）。?x是正在集成的輔助變量。?我們沒有將4.8插入x。我們將4.8插入z。
3、Gamma函數如何對階乘函數進行插值？
如果看壹下Gamma函數，您會註意到兩件事。首先，相對於z，它絕對是壹個遞增函數。其次，當z是自然數時，Γ（z+1）=z！（我保證我們會盡快證明這壹點！）因此，我們可以期望Gamma函數連接階乘。Gamma函數如何以當前項x^ z和e^-x結束？我不確切知道歐拉的思維過程是什麽，但是他是發現自然數e的那個人，因此他必須做很多實驗，將e與其他函數相乘才能找到當前形式。
4、Gamma函數的圖形是什麽樣的？
當x變為無窮大∞時，第壹項（x^ z）也變為無窮大∞，但是第二項（e^-x）變為零。然後，伽瑪函數會收斂到有限值嗎？
我們可以使用L'H?pital規則嚴格證明它收斂。但是我們也可以毫不費力地看到它的融合。如果您考慮壹下，我們正在積分x^ z（壹個多項式遞增函數）和e^-x（壹個指數遞減函數）的乘積。因為e^-x的值下降快於x^ z的值，所以Gamma函數很可能收斂並具有有限的值。讓我們繪制每個圖形，因為眼見為實。x^ z* e^-x的圖讓我們看壹下Γ（4.8）的情況。
圖下綠色陰影區域從0到無窮大，Γ（4.8）=3.8！Python代碼用於生成上面的漂亮圖。自己繪制，看看z如何改變Gamma函數的形狀！
########################
#f(x)=exp(-x)graph#
########################
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#Create x and y
x= np.linspace(-2,20,100)
y= np.exp(-x)
#Create the plot
fig,ax= plt.subplots()
plt.plot(x,y,label='f(x)=exp(-x)',linewidth=3,color='palegreen')
#Make the x=0,y=0thicker
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True,which='both')
ax.axhline(y=0,color='k')
ax.axvline(x=0,color='k')
#Add a title
plt.title('f(x)=exp(-x)',fontsize=20)
#Add X and y Label
plt.xlabel('x',fontsize=16)
plt.ylabel('f(x)',fontsize=16)
#Add a grid
plt.grid(alpha=.4,linestyle='--')
#Show the plot
plt.show()
####################
#f(x)=x^z graph#
####################
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#Create x and y
x= np.linspace(0,2,100)
y1=x**1.3
y2=x**2.5
y3=x**3.8
#Create the plot
fig,ax= plt.subplots()
plt.plot(x,y1,label='f(x)=x^1.3',linewidth=3,color='palegreen')
plt.plot(x,y2,label='f(x)=x^2.5',linewidth=3,color='yellowgreen')
plt.plot(x,y3,label='f(x)=x^3.8',linewidth=3,color='olivedrab')
#Make the x=0,y=0thicker
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True,which='both')
ax.axhline(y=0,color='k')
ax.axvline(x=0,color='k')
#Add a title
plt.title('f(x)=x^z',fontsize=20)
#Add X and y Label
plt.xlabel('x',fontsize=16)
plt.ylabel('f(x)',fontsize=16)
#Add a grid
plt.grid(alpha=.4,linestyle='--')
#Add a Legend
plt.legend(bbox_to_anchor=(1,1),loc='best',borderaxespad=1,fontsize=12)
#Show the plot
plt.show()
###############################
#f(x)=x^(3.8)*e^(-x)graph#
###############################
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#Create x and y
x= np.linspace(0,20,100)
y= x**3.8*np.exp(-x)
#Create the plot
fig,ax= plt.subplots()
plt.plot(x,y,label='f(x)=x^(3.8)*np.exp(-x)',linewidth=3,color='palegreen')
ax.fill_between(x,0,y,color='yellowgreen')
#Make the x=0,y=0thicker
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True,which='both')
ax.axhline(y=0,color='k')
ax.axvline(x=0,color='k')
#Add a title
plt.title('f(x)=x^(3.8)*e^(-x)',fontsize=20)
#Add X and y Label
plt.xlabel('x',fontsize=16)
plt.ylabel('f(x)',fontsize=16)
#Add a grid
plt.grid(alpha=.4,linestyle='--')
#Add a Legend
plt.legend(bbox_to_anchor=(1,1),loc='upper right',borderaxespad=1,fontsize=12)
#Show the plot
plt.show()
5、伽瑪函數屬性
如果您從這篇文章中刪除壹件事，應該是本節。
>給定z>1Γ（z）=（z-1）*Γ（z-1）或將其寫為Γ（z+1）=z*Γ（z）
讓我們使用部分集成和Gamma函數的定義來證明它。
如果n是壹個正整數C（n）=（n-1）！
什麽是Γ（1）？
因此，Γ（n）=（n-1）！
您可能還已經看到表達式Γ（n+1）=n！而不是Γ（n）=（n-1）！。這只是使右手邊n！，而不是（n-1）！我們所做的就是將n移1。
6、使用Gamma函數的屬性，顯示Gamma分布的PDF積分為1
快速回顧壹下Gamma“分布”（不是Gamma“函數”！）：Gamma分布直覺和推導。證明如下：
問答：
1、伽瑪函數多大了？很老。大約300年。有趣的旁註：歐拉（Euler）在64歲時失明，但是在失明後他完成了近壹半作品。
2、壹些有趣的價值觀：C（1/2）=平方（）許多有趣的方式來表明這壹點：Γ(1/2)=sqrt()Γ(-1)=Γ(-2)=Γ(-3)=infinity妳能證明這些嗎？3.這是快速查看Gamma函數圖的實數。
伽馬函數\Gamma(z)\Gamma(z)用藍色繪制，而\Gamma(z)\Gamma(z)+sin(πz)sin(πz)用綠色繪制。（請註意正整數處的交點，因為sin(πz)sin(πz)為零！）兩者都是對非整數的階乘分解的有效解析延續。