岡薩雷斯版<圖像處理>裏面的解釋非常形象：壹個恰當的比喻是將傅裏葉變換比作壹個玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由波長（或頻率）來決定。傅裏葉變換可以看作是數學上的棱鏡，將函數基於頻率分解為不同的成分。當考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣, 傅立葉變換能通過頻率成分來分析壹個函數。
Fourier theory講的就是：任何信號（如圖像信號）都可以表示成壹系列正弦信號的疊加，在圖像領域就是將圖像brightness variation 作為正弦變量。比如下圖的正弦模式可在單傅裏葉中由三個分量編碼：頻率f、幅值A、相位γ?這三個value可以描述正弦圖像中的所有信息。
1.frequency
frequency在空間域上可由亮度調節，例如左圖的frequency比右圖的frequency低……
2.幅值magnitude（amplitude）
sin函數的幅值用於描述對比度，或者說是圖像中最明和最暗的峰值之間的差。（壹個負幅值表示壹個對比逆轉，即明暗交換。）
3.相位表示相對於原始波形，這個波形的偏移量（左or右）。
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壹個傅裏葉變換編碼是壹系列正弦曲線的編碼，他們的頻率從0開始（即沒有調整，相位為0，平均亮度處），到尼奎斯特頻率（即數字圖像中可被編碼的最高頻率，它和像素大小、resolution有關）。傅裏葉變換同時將圖像中所有頻率進行編碼：壹個只包含壹個頻率f1的信號在頻譜上橫坐標f為f1的點處繪制壹個單峰值，峰值高度等於對應的振幅amplitude，或者正弦曲線信號的高度。如下圖所示。
DC term直流信號對應於頻率為0的點，表示整幅圖像的平均亮度，如果直流信號DC=0就表示整幅圖像平均亮度的像素點個數=0，可推出灰度圖中，正弦曲線在正負值之間交替變化，但是由於灰度圖中沒有負值，所以所有的真實圖像都有壹個正的DC term，如上圖所示。
出於某些數學分析原因，經常把傅裏葉變換用mirror-image表示，在原點的的兩端，frequency都是增加的方向，具有相同的幅值。
上面講的都是壹維信號，壹個二維傅裏葉變換是壹維傅裏葉變換在每壹個行掃描線和列掃描線上的傅裏葉變換的疊加。
傅裏葉譜圖上的每壹個像素點都代表壹個頻率值，幅值由像素點亮度變碼而得。最中心的亮點是指直流分量，傅裏葉譜圖中越亮的點，對應於灰度圖中對比越強烈（對比度越大）的點。
由於每壹列掃描線上沒有變化，所以相應的fourier spectrum上行向量為0, 每壹行掃描線上有contrast，所以有頻率幅值。
這裏頻率比上面的小，相應的亮點比上副圖也集中。
圖像傅立葉變換的物理意義
傅裏葉提出任何周期函數都可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦和的形式，每個正弦和/或余弦乘以不同的系數（傅裏葉級數）。圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度.在噪聲點和圖像邊緣處的頻率為高頻。
傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是壹個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將壹個函數轉換為壹系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數變換為圖像的頻率分布函數，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數變換為灰度分布函數.
傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續空間（現實空間）上的采樣得到壹系列點的集合，習慣用壹個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由z=f(x,y)來表示。由於空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另壹個維度上的關系就由梯度來表示，這樣可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應關系。為什麽要提梯度？因為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點並不存在壹壹對應的關系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不壹的亮點，實際上圖像上某壹點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這麽理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。壹般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換後的頻譜圖，也叫功率圖，首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數更多，那麽實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那麽實際圖像壹定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對頻譜移頻到原點以後，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有壹個好處，它可以分離出有周期性規律的幹擾信號，比如正弦幹擾，壹副帶有正弦幹擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某壹點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是幹擾噪音產生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除幹擾.
圖像是兩個參數的函數，通過壹組正交函數的線性組合可以將其分解，而傅裏葉就是通過諧波函數來分解的。而對於離散傅裏葉變換，傅裏葉變換的條件是存在的。
傅裏葉變換進行圖像處理有幾個特點
1. 直流成分F(0,0)等於圖像的平均值；
2. 能量頻譜|F（u,v）|^2完全對稱於原點；其中F=PfQ, f表示原圖，P和Q都是對稱的實正交矩陣，這個公式表示傅裏葉變換就是個正交矩陣的正交變換
3.圖像f平移（a,b）後，F只有exp[-2pij(au/M+bv/M)]的相位變化，能量頻譜不發生變化。
4. 圖像f自乘平均等於能量頻譜的總和，f的分散等於能量頻譜中除直流成分後的總和。
5.圖像f(x,y)和g(x,y)的卷積h(x,y)=f(x,y)*g(x,y)的傅裏葉變換H（u，v）等於f(x,y)和g(x,y)各自的傅裏葉變換的乘積。
圖像中的每個點通過傅裏葉變換都成了諧波函數的組合，也就有了頻率，這個頻率則是在這壹點上所有產生這個灰度的頻率之和，也就是說傅裏葉變換可以將這些頻率分開來。當想除去圖像背景時，只要去掉背景的頻率就可以了。
在進行傅裏葉變換時，實際上在某壹特定的頻率下，計算每個圖像位置上的乘積。就是f(x,y)exp[-j2pi(ux+vy)]，然後計算下壹個頻率。這樣就得到了頻率函數。
也就是說，看到傅裏葉變換的每壹項（對每對頻率u,v，F(u，v)的值）是由f(x)函數所有值的和組成。f(x)的值與各種頻率的正弦值和余弦值相乘。因此，頻率u, v決定了變換的頻率成分（x, y也作用於頻率，但是它們相加，對頻率有相同的貢獻）。
通常在進行傅裏葉變換之前用(-1)^(x+y)乘以輸入的圖像函數，這樣就可以將傅裏葉變換的原點F(0,0)移到(M/2,N/2)上。
每個F(u,v)項包含了被指數修正的f(x,y)的所有值，因而壹般不可能建立圖像特定分量和其變換之間的聯系。然而，壹般文獻通常會有關於傅裏葉變換的頻率分量和圖像空間特征之間聯系的闡述。變換最慢的頻率成分（u=v=0）對應壹幅圖像的平均灰度級。當從變換的原點移開時，低頻對應著圖像的慢變換分量，較高的頻率開始對應圖像中變化越來越快的灰度級。這些事物體的邊緣和由灰度級的突發改變（如噪聲）標誌的圖像成分。
在頻率域中的濾波基礎
1. （-1）^(x+y)乘以輸入圖像來進行中心變換
2. 由（1）計算圖像的DFT， 即F（u,v）
3. 用濾波器函數H(u,v)乘以F（u,v）
4. 計算（3）中的結果的反DFT
5. 得到（4）中的結果的實部
6. 用(-1)^(x+y)乘以（5）中的結果
另外說明以下幾點：
1、圖像經過二維傅立葉變換後，其變換系數矩陣表明：
若變換矩陣Fn原點設在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數短陣的中心附近(圖中陰影區)。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點設在左上角，那麽圖像信號能量將集中在系數矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質決定的。同時也表明壹幅圖像能量集中低頻區域。
2 、變換之後的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之後中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）