XPCS實驗說明。粒子在散射體內的平移和旋轉導致了右邊所示的散斑模式的變化。雖然顆粒狀、類似噪聲的紋理使這些圖像在視覺上看起來很相似，但MTECS算法能夠檢測和分析模式之間的微小變化。作者:Zixi Hu，加州大學伯克利分校
勞倫斯伯克利國家實驗室(Berkeley Lab)能源研究應用高級數學中心(CAMERA)的數學家們開發了壹種數學算法，從在高度復雜的x射線中觀察到的x射線散射模式中破譯大型復雜系統中扭轉粒子的旋轉動力學光子相關光譜(XPCS)實驗。
這些實驗旨在研究膠體、大分子和聚合物的懸浮物和溶液的性質，已經成為美國能源部正在進行的許多相幹光源升級的關鍵科學驅動因素。新的數學方法，由紫西胡，Jeffrey Donatelli和James Sethian的CAMERA團隊開發，有潛力揭示更多關於復雜材料的功能和特性的信息，這是以前不可能的。
懸浮粒子經歷布朗運動，當它們移動(平移)和旋轉(旋轉)時，它們會抖動。這些隨機波動的大小取決於材料的形狀和結構，並包含有關動力學的信息，應用於分子生物學、藥物發現和材料科學。
XPCS的工作原理是聚焦壹束相幹的x射線，捕捉懸浮粒子散射的光。探測器接收到由此產生的散斑圖案，其中包含信號中的幾個微小波動，編碼有關觀測系統動力學的詳細信息。為了充分利用這種能力，伯克利實驗室的先進光源(ALS)、阿貢的先進光子源(APS)和SLAC的直線相幹光源即將升級的相幹光源都在計劃壹些世界上最先進的XPCS實驗，利用前所未有的相幹和亮度。
但壹旦妳從所有這些圖像中收集數據，妳如何從它們中獲得有用的信息呢?從XPCS中提取動態信息的主要技術是計算所謂的時間自相關，它衡量散斑圖案中的像素在壹段時間後的變化。自相關函數將靜止的圖像拼接在壹起，就像壹個古老的電影鮮活起來，密切相關的明信片圖像飛過。
目前的算法主要局限於平移運動的提取;就像彈簧高蹺從壹個地方跳到另壹個地方。然而，之前的算法無法提取結構如何自旋和旋轉的“旋轉擴散”信息，而這些信息對於理解物理系統的功能和動力學特性至關重要。獲取這些隱藏的信息是壹個巨大的挑戰。
扭曲光線
2019年2月，專家們聚集在壹起，參加了關於XPCS的CAMERA研討會，討論了該領域的關鍵新興需求。提取旋轉擴散是壹個關鍵目標，Hu是加州大學伯克利分校的數學研究生;多納泰利，數學的相機領導;和加州大學伯克利分校的數學教授、CAMERA主任Sethian合作，正面解決了這個問題。
他們的工作成果是壹個強大的新的數學和算法方法來提取旋轉信息，現在工作在2D和易於擴展到3D。由於圖像非常少(少於4000張)，該方法可以很容易地預測模擬旋轉擴散系數，誤差在幾個百分點以內。該算法的細節發表在8月18日的《美國國家科學院院刊》上。
其核心思想是超越標準的自相關函數，而是尋找角時間相互相關函數中包含的額外旋轉信息，這種函數比較像素在時間和空間上的變化。這是數學復雜性的壹個重大飛躍:簡單的數據矩陣變成了四向數據張量，將旋轉信息與這些張量關聯起來的理論涉及高級諧波分析、線性代數和張量分析。為了將所需的旋轉信息與數據聯系起來，Hu開發了壹個高度復雜的數學模型，描述了角度-時間相關性如何從這個新的復雜的方程組中表現為旋轉動力學的函數。
他說:“為了建立壹個良好的數學和算法框架來解決這個問題，有很多多層次的謎團需要解開。”“有關於靜態結構和動態屬性的信息，需要系統地利用這些屬性來建立壹個壹致的框架。綜合起來，它們提供了壹個將許多數學思想編織在壹起的絕佳機會。用這種方法從乍壹看似乎非常嘈雜的環境中獲取有用信息，非常有趣。”
然而，解決這組方程來恢復旋轉動力學是具有挑戰性的，因為它包含了幾層不同類型的數學問題，很難壹下子全部解決。為了應對這壹挑戰，團隊基於Donatelli早期的多層叠代投影(M-TIP)工作，該工作旨在解決復雜的逆問題，目標是找到產生可觀察輸出的輸入。M-TIP的思想是將壹個復雜的問題分解成子問題，對每個子問題使用最好的反演/偽反演，並叠代這些子解決方案，直到它們收斂到壹個解決問題所有部分的解決方案。
胡和他的同事采納了這些想法，並建立了壹個姊妹方法，“相關光譜的多層估計(M-TECS)”，通過系統的子步驟來解決復雜的分層方程組。
“M-TECS方法的強大之處在於，它利用了這樣壹個事實，即問題可以被分離成高維線性部分和低維非線性和非凸部分，每個部分都有自己的有效解決方案，但如果壹次性解決這些問題，就會變成壹個極其困難的優化問題，”多納泰利說。
這使得M-TECS能夠從如此復雜的方程組中高效地確定旋轉動力學，而標準的優化方法在收斂性和計算成本方面都遇到了麻煩。”
為新的實驗打開了大門
“XPCS是壹項強大的技術，將在ALS升級中發揮重要作用。這項工作為XPCS打開了壹個新的維度，並將允許我們 探索 復雜材料的動力學，如水通道內的旋轉分子，”ALS計算項目負責人Alexander himer說。
胡先生因為這項工作獲得了加州大學伯克利分校的伯納德·弗裏德曼獎，他加入了伯克利實驗室計算研究部的camera，成為它的最新成員。Sethian說:“這種數學和算法的***同設計是優秀應用數學的標誌，新數學在解決科學 探索 的前沿實際問題中扮演著關鍵角色。”
CAMERA團隊目前正在與ALS和APS的光束科學家合作，設計新的XPCS實驗，可以充分利用團隊的數學和算法方法來研究重要材料的新的旋轉動力學特性。該團隊還在擴展他們的數學和算法框架工作，以從XPCS恢復更壹般類型的動態特性，並將這些方法應用於其他相關成像技術。
這項工作是由美國能源部科學辦公室下屬的高級科學計算研究辦公室和基礎能源科學辦公室聯合資助的CAMERA所支持的。