數分為有符號數和無符號數.
原碼、反碼、補碼都是有符號定點數的表示方法.
壹個有符號定點數的最高位為符號位,0是正,1是副.
以下都以8位整數為例,
原碼就是這個數本身的二進制形式.
例如
0000001 就是+1
1000001 就是-1
正數的反碼和補碼都是和原碼相同.
負數的反碼是將其原碼除符號位之外的各位求反
[-3]反=[10000011]反=11111100
負數的補碼是將其原碼除符號位之外的各位求反之後在末位再加1.
[-3]補=[10000011]補=11111101
壹個數和它的補碼是可逆的.
為什麽要設立補碼呢?
第壹是為了能讓計算機執行減法:
[a-b]補=a補+(-b)補
第二個原因是為了統壹正0和負0
正零:00000000
負零:10000000
這兩個數其實都是0,但他們的原碼卻有不同的表示.
但是他們的補碼是壹樣的,都是00000000
特別註意,如果+1之後有進位的,要壹直往前進位,包括符號位!(這和反碼是不同的!)
[10000000]補
=[10000000]反+1
=11111111+1
=(1)00000000
=00000000(最高位溢出了,符號位變成了0)
有人會問
10000000這個補碼表示的哪個數的補碼呢?
其實這是壹個規定,這個數表示的是-128
所以n位補碼能表示的範圍是
-2^(n-1)到2^(n-1)-1
比n位原碼能表示的數多壹個
又例:
1011
原碼:01011
反碼:01011 //正數時,反碼=原碼
補碼:01011 //正數時,補碼=原碼
-1011
原碼:11011
反碼:10100 //負數時,反碼為原碼取反
補碼:10101 //負數時,補碼為原碼取反+1
0.1101
原碼:0.1101
反碼:0.1101 //正數時,反碼=原碼
補碼:0.1101 //正數時,補碼=原碼
-0.1101
原碼:1.1101
反碼:1.0010 //負數時,反碼為原碼取反
補碼:1.0011 //負數時,補碼為原碼取反+1
總結:
在計算機內,定點數有3種表示法:原碼、反碼和補碼
所謂原碼就是前面所介紹的二進制定點表示法,即最高位為符號位,“0”表示正,“1”表示負,其余位表示數值的大小.
反碼表示法規定:正數的反碼與其原碼相同;負數的反碼是對其原碼逐位取反,但符號位除外.
補碼表示法規定:正數的補碼與其原碼相同;負數的補碼是在其反碼的末位加1.
1、原碼、反碼和補碼的表示方法
(1) 原碼:在數值前直接加壹符號位的表示法.
例如: 符號位 數值位
[+7]原= 0 0000111 B
[-7]原= 1 0000111 B
註意:a. 數0的原碼有兩種形式:
[+0]原=00000000B [-0]原=10000000B
b. 8位二進制原碼的表示範圍:-127~+127
2)反碼:
正數:正數的反碼與原碼相同.
負數:負數的反碼,符號位為“1”,數值部分按位取反.
例如: 符號位 數值位
[+7]反= 0 0000111 B
[-7]反= 1 1111000 B
註意:a. 數0的反碼也有兩種形式,即
[+0]反=00000000B
[- 0]反=11111111B
b. 8位二進制反碼的表示範圍:-127~+127
3)補碼的表示方法
1)模的概念:把壹個計量單位稱之為模或模數.例如,時鐘是以12進制進行計數循環的,即以12為模.在時鐘上,時針加上(正撥)12的整數位或減去(反撥)12的整數位,時針的位置不變.14點鐘在舍去模12後,成為(下午)2點鐘(14=14-12=2).從0點出發逆時針撥10格即減去10小時,也可看成從0點出發順時針撥2格(加上2小時),即2點(0-10=-10=-10+12=2).因此,在模12的前提下,-10可映射為+2.由此可見,對於壹個模數為12的循環系統來說,加2和減10的效果是壹樣的;因此,在以12為模的系統中,凡是減10的運算都可以用加2來代替,這就把減法問題轉化成加法問題了(註:計算機的硬件結構中只有加法器,所以大部分的運算都必須最終轉換為加法).10和2對模12而言互為補數.
同理,計算機的運算部件與寄存器都有壹定字長的限制(假設字長為8),因此它的運算也是壹種模運算.當計數器計滿8位也就是256個數後會產生溢出,又從頭開始計數.產生溢出的量就是計數器的模,顯然,8位二進制數,它的模數為28=256.在計算中,兩個互補的數稱為“補碼”.
2)補碼的表示: 正數:正數的補碼和原碼相同.
負數:負數的補碼則是符號位為“1”,數值部分按位取反後再在末位(最低位)加1.也就是“反碼+1”.
例如: 符號位 數值位
[+7]補= 0 0000111 B
[-7]補= 1 1111001 B
補碼在微型機中是壹種重要的編碼形式,請註意:
a.采用補碼後,可以方便地將減法運算轉化成加法運算,運算過程得到簡化.正數的補碼即是它所表示的數的真值,而負數的補碼的數值部份卻不是它所表示的數的真值.采用補碼進行運算,所得結果仍為補碼.
b.與原碼、反碼不同,數值0的補碼只有壹個,即 [0]補=00000000B.
c.若字長為8位,則補碼所表示的範圍為-128~+127;進行補碼運算時,應註意所得結果不應超過補碼所能表示數的範圍.