偶數項和：S偶 = [(a+d) + (a+2nd-d)]n/2 = (a+nd)n
S奇/S偶 = (n+1)/n?
設原數列首項為a,公差為d,
原數列依次為a,a+d,a+2d,a+3d,.,a+2nd
奇數項為：a,a+2d,a+4d,.,a+2nd
奇數項和：S奇 = [a + (a+2nd)](n+1)/2 = (a+nd)(n+1)
偶數項為：a+d,a+3d,a+5d,.,a+(2n-1)d
偶數項和：S偶 = [(a+d) + (a+2nd-d)]n/2 = (a+nd)n
S奇/S偶 = (n+1)/n?
等差數列是指從第二項起，每壹項與它的前壹項的差等於同壹個常數的壹種數列，常用A、P表示。這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。
例如：1,3,5,7,9……2n-1。通項公式為：an=a1+(n-1)*d。首項a1=1，公差d=2。前n項和公式為：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。註意：以上n均屬於正整數。
（1）從通項公式可以看出，a(n)是n的壹次函數(d≠0)或常數函數(d=0)，(n，an)排在壹條直線上，由前n項和公式知，S(n)是n的二次函數(d≠0)或壹次函數(d=0，a1≠0)，且常數項為0。
（2）從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(類似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。
（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差數列，等等。若m+n=2p，則a(m)+a(n)=2*a(p)。
證明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)；
p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因為m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p。
（4）其他推論：
① 和=（首項+末項）×項數÷2；
②項數=（末項-首項）÷公差+1；
③首項=2x和÷項數-末項或末項-公差×（項數-1）；
④末項=2x和÷項數-首項；
⑤末項=首項+（項數-1）×公差；
⑥2(前2n項和-前n項和)=前n項和+前3n項和-前2n項和。
根據歷史傳說記載，國際象棋起源於古印度，至今見諸於文獻最早的記錄是在薩珊王朝時期用波斯文寫的．據說，有位印度教宰相見國王自負虛浮，決定給他壹個教訓．他向國王推薦了壹種在當時尚無人知曉的遊戲．國王當時整天被壹群溜須拍馬的大臣們包圍，百無聊賴，很需要通過遊戲方式來排遣郁悶的心情．
國王對這種新奇的遊戲很快就產生了濃厚的興趣，高興之余，他便問那位宰相，作為對他忠心的獎賞，他需要得到什麽賞賜．
宰相開口說道：請您在棋盤上的第壹個格子上放1粒麥子，第二個格子上放2粒，第三個格子上放4粒，第四個格子上放8粒……即每壹個次序在後的格子中放的麥粒都必須是前壹個格子麥粒數目的兩倍，直到最後壹個格子第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了。“好吧！”國王哈哈大笑，慷慨地答應了宰相的這個謙卑的請求。
這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢？稍微算壹下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接寫出數字來就是18,446,744,073,709,551,615粒，這位宰相所要求的，竟是全世界在兩千年內所產的小麥的總和！
如果造壹個寬四米，高四米的糧倉來儲存這些糧食，那麽這個糧倉就要長三億千米，可以繞地球赤道7500圈，或在日地之間打個來回。
國王哪有這麽多的麥子呢？他的壹句慷慨之言，成了他欠宰相西薩·班·達依爾的壹筆永遠也無法還清的債。
正當國王壹籌莫展之際，王太子的數學教師知道了這件事，他笑著對國王說：“陛下，這個問題很簡單啊，就像1+1=2壹樣容易，您怎麽會被它難倒？”
國王大怒：“難道妳要我把全世界兩千年產的小麥都給他？”年輕的教師說：“沒有必要啊，陛下。其實，您只要讓宰相大人到糧倉去，自己數出那些麥子就可以了。假如宰相大人壹秒鐘數壹粒，數完18,446,744,073,709,551,615粒麥子所需要的時間，大約是5800億年（大家可以自己用計算器算壹下！）。
就算宰相大人日夜不停地數，數到他自己魂歸極樂，也只是數出了那些麥粒中極小的壹部分。這樣的話，就不是陛下無法支付賞賜，而是宰相大人自己沒有能力取走賞賜。”國王恍然大悟，當下就召來宰相，將教師的方法告訴了他。
西薩·班·達依爾沈思片刻後笑道：“陛下啊，您的智慧超過了我，那些賞賜……我也只好不要了！”當然，最後宰相還是獲得了很多的賞賜。
等差中項即等差數列頭尾兩項的和的壹半，但求等差中項不壹定要知道頭尾兩項。等差數列中，等差中項壹般設為A(r)。當A(m),A(r),A(n)成等差數列時，A(m)+A(n)=2×A(r)，所以A(r)為A(m)、A(n)的等差中項，且為數列的平均數。並且可以推知n+m=2×r，且任意兩項a(m)、a(n)的關系為：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(類似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相當容易證明，它可以看作等差數列廣義的通項公式。
等差數列的應用日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。若為等差數列，且有a(n)=m,a(m)=n。則a(m+n)=0。
其實，中國古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經》提到等差數列了：今有女子不善織布，逐日所織的布以同數遞減，初日織五尺，末壹日織壹尺，計織三十日，問***織幾何?書中的解法是：並初、末日織布數，半之，余以乘織訖日數，即得。這相當於給出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式。