特征向量是矩陣特征值對應的向量，也是線性代數中的壹個重要概念。在數學中，矩陣的特征向量和特征值構成矩陣的譜，是矩陣特征分解的基礎。特征向量在機器學習和深度學習中也有著廣泛應用。
1. 求解特征向量的前提是先求出特征值。設矩陣A為n階方陣，則特征值λ滿足如下特征方程：
| A - λI | = 0，
其中I為單位矩陣，而| A - λI |則為矩陣A - λI的行列式，求解這個方程可以得到矩陣A的所有特征值λ1、λ2、...、λn。
2. 對於每壹個特征值λi，都有對應的特征向量ui，即Aui = λiui。因此，特征向量的求法可以轉化為求解線性方程組Aui = λiui的問題。
3. 對於Aui = λiui，因為ui ≠ 0，所以等式可以轉化為(A - λiI)ui = 0，將(A - λiI)看成系數矩陣，可以得到壹個齊次線性方程組。因此，可以采用高斯消元法或者LU分解等方法求解該齊次線性方程組，從而求解出特征向量。
4. 由於矩陣的零空間中存在非零向量，因此對於某些特征值，可能會存在多個線性無關的特征向量。在計算特征向量時，需要註意選擇線性無關的向量，可以通過基礎行變換或者高斯–約旦消元法等方法，將齊次線性方程組進行簡化，得到線性無關的向量，從而求解特征向量。
總而言之，特征向量的求解需要先求解對應的特征值，然後再將特征值代入線性方程組求解出特征向量，並註意選擇線性無關的向量。特征向量的求解在機器學習等領域有著廣泛應用，能夠幫助我們更好地理解和處理數據。