表1(7,4)循環碼
信息組
m3 m2 m1 m0
碼字 C6 C5 C4 C3 C2 C1 C0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 1 1 0 1
0 0 1 0
0 0 1 0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0
0 1 1 1
0 1 1 1 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 0 1 0
1 0 1 0 0 0 1
1 0 1 1
1 0 1 1 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 1
1 1 0 1
1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 0
1 1 1 0 0 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
表1給出的是(7,4)循環碼，由於循環碼是線性分組碼的壹種，所以它也具有封閉性，任意兩個碼字相加之和必是另壹碼字。所以它的最小碼距也就是非零碼字的最小碼重。在表1給出的(7,4)循環碼中，dmin=3。而且根據定義，任壹碼字的每壹循環移位的結果都是(7,4)循環碼的壹個碼字。但某壹碼字的循環移位，並不能生成所有的碼字。對於壹個循環碼來說，可以同時存在多個循環圈。
編碼種類
十六進制數
自然二進制碼
循環二進制碼
十六進制數
自然二進制碼
循環二進制碼
0
0000
0000
8
1000
1100
1
0001
0001
9
1001
1101
2
0010
0011
A
1010
1111
3
0011
0010
B
1011
1110
4
0100
0110
C
1100
1010
5
0101
0111
D
1101
1011
6
0110
0101
E
1110
1001
7
0111
0100
F
1111
1000
循環碼的基本特征
為了探討循環碼的特征，把碼字C=(Cn－1 Cn－2…C1C0)用如下的碼多項式C(x)來表示。
（1）特性壹
在壹個(n,k)循環碼中，存在惟壹的壹個n－k次碼多項式：
每壹個碼多項式C(x)都是g(x)的壹個倍式，反之每個為g(x)倍式，且次數小於等於n－1的多項式必是壹個碼多項式。
由此可見，(n,k)循環碼中的每壹個碼多項式C(x)均可由下式表示：
如果m(x)的系數(mk－1…m1m0)就是表示待編碼的k位信息位，則C(x)就是對應於此信息組m(x)的碼多項式。因此(n,k)循環碼完全可由g(x)確定。g(x)也稱為循環碼(n,k)的生成多項式。g(x)的次數n－k等於碼中壹致校驗位的位數。
（2）特性二
(n,k)循環碼的生成多項式是xn+1的因子，即：
xn+1=g(x)h(x)
其中h(x)稱為碼的壹致校驗多項式，循環碼的H矩陣也可以通過h(x)來生成。
（3）特性三
若g(x)是壹個n－k次多項式，並且是xn+1的因子，則g(x)壹定能生成壹個(n,k)循環碼。
表2.5給出了多項式x7+1中所含有的部分生成多項式和相應的循環碼。
循環碼的編碼
（1）編碼方法
根據上述的三個循環碼特征，可以有三種(n,k)循環碼的編碼方法。
表2x7+1中的部分g (x)
循環碼
碼距
生成多項式g(x)
校驗多項式h(x)
(7,6)
2
x+1
(x 3+x+1)(x 3+x 2+1)
(7,4)
3
x 3+x+1
(x 3+x 2+1)(x+1)
(7,3)
4
(x+1)(x 3+x+1)
x 3+x 2+1
(7,1)
7
(x 3+x 2+1)(x 3+x+1)
x+1
① 用生成多項式編碼
a．選擇壹個能除盡xn+1的n－k=r次生成多項式g(x)。
b．由g(x)生成各碼多項式。
c．找出與碼多項式相對應的循環碼字。
② 用生成矩陣編碼
有兩種求生成矩陣的方法：
a．因為g(x)是最低次數的碼多項式。且xg(x)，x2g(x)，…，xk－1g(x)皆為碼多項式。用它們構成G，再用行變換把G變換為典型生成矩陣，然後用其編碼。
b．用g(x)除xn－k+i (i=0，1，…，k－1)，得：
於是是g(x)的倍式，且次數小於等於n－1，所以為碼多項式。用此方法可得到k個碼多項式，可以直接構成典型生成矩陣，用以編碼。
③ 用余式確定校驗位
a.用乘信息多項式m(x)。
b.用g(x)除m(x)得到余式r(x)。
c.生成碼多項式m(x)+r(x)。
第壹種方法可用乘法電路來完成，第二種方法用生成矩陣G編碼是壹般線性分組編碼的通用方法，利用這壹種方法編循環碼，體現不出循環碼的優點，第三種方法可用除法電路來完成，應用比較廣泛。
（2）除法電路編碼器
以g(x)=x3+x+1生成(7,4)循環碼的編碼器為例，如圖3所示。
圖3所示的編碼器主要由壹除法電路構成。除法電路由移位寄存器和模2加法器組成。移位寄存器的個數與g(x)的次數相等。因為g(x)=x3+x+1，所以移位寄存器有三個。g(x)多項式中的系數是1還是0表示該移位寄存器的輸入端反饋線的有無。圖中x的壹次項的系數為1，所以D1的輸入端有反饋線及模2加法器。信息輸入時，門打開，K1接通，信息送入除法器的同時，向外輸出；信息位送完，門關閉，K2接通。除法電路中D2D1D0的內容，即所得余式，也就是校驗位緊隨信息位輸出，完成壹個碼字的編碼過程。為了便於理解，表4給出了這壹編碼的過程。這裏設信息碼元為1101，編碼結果為1101001。
圖3 (7,4)循環碼編碼器
表4 (7,4)編碼器工作過程
輸入m
移位寄存器 D0 D1 D2
輸出
1
1 1 0
1
1
1 0 1
1
0
1 0 0
0
1
1 0 0
1
0
0 1 0
0
0
0 0 1
0
0
0 0 0
1
循環碼的譯碼
令S(x)是接收多項式R(x)=rn－1xn－1+…+r1x+r0的伴隨式，利用生成多項式g(x)除xS(x)所得的余式S(1)(x)，就是R(x)循環移位壹次R(1)(x)的伴隨式。
因此，可用伴隨式運算電路依次求出對應於各碼位的伴隨式。以g(x)=x3+x+1的(7,4)循環碼為例，其伴隨式運算電路由圖2.19給出。
圖5 伴隨式運算電路
表6是錯誤圖樣和相應的伴隨式。
表6 錯誤圖樣和伴隨式
移存器狀態 D0 D1 D2
錯誤圖樣 e0e1e2e3e4e5e6
伴隨式 S0 S1 S2
1 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 1 0 0 0 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1
1 1 0
0 0 0 1 0 0 0
1 1 0
0 1 1
0 0 0 0 1 0 0
0 1 1
1 1 1
0 0 0 0 0 1 0
1 1 1
1 0 1
0 0 0 0 0 0 1
1 0 1
可以看出如果我們在伴隨式運算電路中賦予壹個與e0出錯項對應的伴隨式S=001，隨著伴隨式電路的運算，移存器中的內容就會是依次是e1,e2,…,e6的伴隨式。
定理表明如果e(x)的伴隨式是S(x)，則xe(x)的伴隨式t(x)=S（1）(x)。它相當於S(x)在伴隨式運算電路裏的循環移壹位。當差錯碼元移到最高位時，就和最高位出錯的伴隨式相同，這就大大簡化了譯碼器的結構。g(x)=x3+x+1的(7,4)循環碼的譯碼電路由圖7給出。
圖7 (7,4)循環碼譯碼器
縮短循環碼
循環碼的生成多項式g(x)應該是xn+1的壹個(n－k) 次因子，但有時在給定碼長n時，xn+1的因子不能滿足設計者的需要，為了增加選擇機會，往往采用縮短循環碼。
在(n,k)循環碼的2k個碼字中選擇前i位信息位為0的碼字，***有2k－i個，組成壹個新的碼字集。這樣就構成了壹個(n－i,k－i)縮短循環碼。
在縮短循環碼中，校驗碼原位數不變，縮短的僅僅是信息位，因此(n－i,k－i)縮短循環碼的糾檢錯的能力不低於(n,k)碼的糾檢錯能力。但碼字間已失去了循環特征。
在數據通信中廣泛采用的循環冗余檢驗碼(CRC，Cyclic Redundancy Checks)，是壹種循環碼，常利用縮短循環碼，如CRC－12、CRC－16、CRC－CCITT碼，表8給出了它們的生成多項式。
表8 常用CRC碼
CRC碼
生成多項式
CRC－12
x12+x11+x3+x2+x+1
CRC－16
x16+x15+x2+1
CRC－CCITT
x16+x12+x5+1
BCH碼
BCH碼是循環碼的壹個重要的子類，它是壹種能糾正多個隨機錯誤的應用最為廣泛和有效的差錯控制碼。
定義：對於任意正整數m(m≥3)和t(t<2m－1=壹定存在壹個具有下列參數的二進制BCH碼：
碼長n=2m－1
校驗位數目n－k≤mt
最小距離dmin≥2t+1
BCH碼可以分為兩類，即本原BCH碼和非本原BCH碼。本原BCH碼碼長n=2m－1，它的生成多項式g(x)中含有最高次數為m的本原多項式，本原多項式是壹個既約多項式，它能除盡xn+1的最小正整數n，滿足n=2m－1。具有循環碼特性，糾單個隨機錯誤的漢明碼，是可糾單個隨機錯誤的本原BCH碼。而非本原BCH碼中的生成多項式g(x)中不含本原多項式，且碼長n是2m－1的壹個因子，著名的戈雷(Golay)碼，就屬於非本原BCH碼。
表9給出了n≤31的本原BCH碼的參數和生成多項式。
表9 本原BCH碼生成多項式
n k t
gt(x)
7 4 1
g1(x)=13
1 3
g1(x)(15)=177
15 11 1
g1(x)=23
7 2
g1(x)(37)=721
5 3
g2(x)(7)=2467
1 7
g3(x)(31)=77777
31 26 1
g1(x)=45
21 2
g1(x)(75)=3551
16 3
g2(x)(67)=10765 7
11 5
g3(x)(57)=54233 25
n k t
gt(x)
6 7
g5(x)(73)=31336 5047
1 15
g7(x)(51)=17777 77777 7
表中的每壹位數字為八進制數，代表g(x)多項式中3個二進制系數。如n=31，k=26,t=1的BCH碼的生成多項式g1(x)=45。45表示100101，所以，該BCH碼的g(x)=x5+x2+1。有了生成多項式表就可很方便地構造所需的BCH碼。
裏德—所羅門(Read-Solomon)碼
除了二進制碼之外，還有非二進制碼。如果P是壹素數，q是p的任意次冪，存在著由伽羅華域GF(q)產生的碼。這些碼稱為q進制碼。q進制碼的編碼和譯碼都與二進制碼相似。
對任意選擇的正整數s和t，存在長度為n=qs－1的q進制BCH碼。它能糾正t個錯誤，而只用2St個校驗位。S=1時的q進制BCH碼是q進制BCH碼中的壹類最重要的子碼。這類子碼稱為裏德——所羅門(Read-Solomon)碼，簡稱R-S碼。糾t位錯誤，系數為GF(q)中元素的R-S碼具有下列參數：
碼長：n=q－1
校驗位數目：n－k=2t
最小距離：dmin=2t+1
R-S碼對糾多重突發差錯非常有效。
R-S碼把L位(例如8位)的壹個字節，作為壹個編碼符號。如果我們要設計壹個糾t=5位錯誤的，由8位字節組成的R-S碼，碼長為q－1=255字節(這裏，p=2,q=28)。那麽根據R-S碼的參數，校驗位的數目為r=n－k=2t=10字節(80位)，其余k=n－r=245字節(1960位)是信息位。