用WS表示S關於的全部良序子集組成的集合.對於Δ1,Δ2∈WS,我們稱Δ1是Δ2的壹個前段,如果Δ1Δ2,且Δ1<Δ2Δ1(Δ1在Δ2中的補集).此時,記作:顯然,是WS的壹個偏序.由文［7］中定理2,每個良序集對應於唯壹的序數.於是,我們有集合Ω={i｜i是對應WS中某個集合的序數}.
現設是壹個指標集為S的序群族.按照文［8］中第二章第7節,用Γ(Gi｜i∈S)表示的字典和.
則Γ(Gi|i∈S)由所有從S到∪i∈SGi的這樣的映射f組成,使得:對於每個i∈S, f(i)∈Gi,且支集supp(f):={i∈S| f(i)≠0}∈WS.因而,群Γ(Gi| i∈S)可賦予所謂的字典序.此外,在Γ(Gi| i∈S)上,可規定壹個值集為S的自然賦值w,使得,對於f∈Γ(Gi| i∈S), w(f)為supp(f)中最小元素,當supp(f)≠;或者w(f)=∞,當supp(f)=.通過約定:s<∞對於每個s∈S,賦值w滿足如次性質:(i) w(f)=∞,當且僅當f=0; (ii)對於每個非零 (iii) 且當w(f)≠w(g)時,等式成立; (iv)若fg>0,則w(f)w(g).對於f∈Γ(Gi| i∈S),規定V(f): ={x|x=∞或x∈S,使得supp(f)<x}.顯然V(0)=S∪{∞}.
對於非零元f∈Γ(Gi| i∈S)以及supp(f)的壹個前段Δ, Γ(Gi| i∈S)中有唯壹元素,記作f|Δ,使得f|Δ(i) =f(i),當i∈D;且f|Δ(i)=0,當iΔ.對於f,g∈Γ(Gi| i∈S),我們稱f是g的壹個前段,如果supp(f)是supp(g)的壹個前段,且f=g|supp(f).此時,記作.顯然是Γ(Gi| i∈S)的壹個偏序,且對於f∈Γ(Gi| i∈S)以及supp(f)的壹個前段Δ.對於Γ(Gi| i∈S)中非零元f以及k∈Ω.用Δk表示supp(f)的所有這樣的前段Δ的並集,其中對應於Δ的序數不大於k.用f|k表示f|Δk,則顯然f|kf.此外,對於Γ(Gi| i∈S)中兩個非零元素f,g,我們稱f和g具有相同的首項,如果 f|1=g|1.等價於:w(f)=w(g)且f(w(f))=g(w(g)).
引理1 設f,g∈Γ(Gi| i∈S),且w(f-g) = pi≠∞,則我們有
(1) π∈supp(f)或pi∈supp(g);
(2) {x∈supp(f)|x<π}={x∈supp(g)| x<π};因而,這個集合是supp(f)和supp(g)的公***前段,且記作Δ;
(3)若π∈supp(f),則Δ ∪{π}是supp(f)的壹個前段,且supp(g)=Δ或supp(g)有這樣壹個前段Δ∪{α},這裏απ.
證明 (1)顯然.(2)對於x∈supp(f),其中x<π,我們有g(x)=f(x)≠0.因而x∈supp(g).同樣,x∈supp(g)和x<π意味著x∈supp(f).因此,(2)中等式成立.後壹結論是顯然的.(3)顯然, Δ∪{π}是supp(f)的壹個前段,如果π∈supp(f).假定supp(g)≠Δ,則supp(g)中有壹個最小元素α,使得αΔ.顯然,Δ∪{α}是supp(g)的壹個前段.由於α∈supp(g),但α Δ,從而必有απ.
引理2 對於f,g和h∈Γ(Gi| i∈S),我們有
(1) f和g有相同的首項,當且僅當w(f-g)>w(f);
(2) f g當且僅當w(f-g)∈V(f);
(3)若f和g有相同的首項,且w(f)w(h),則h和h+f-g有相同的首項;
(4)對於j,k∈Ω,其中jk, (f|k)|j =f|j;
(5)若fg,則f|kg|k,對於每個k∈Ω;
(6) f>g,當且僅當f|k>g|k,對於某個k∈Ω;
(7)若f|j>g|j,對於某個j∈Ω,則f|k>g|k,對於每個使得kj的k∈Ω.
證明 (1)和(2)顯然.
(3)由(1)有,w((h+f-g)-h)=w(f-g)>w(f)w(h),即有結論.
(4)顯然supp(f|j)supp(f|k)supp(f).設α∈supp(f|j),則supp(f)有壹個前段Δ,使得對應於Δ的序數不超過j,且α∈Δ.由於jk,從而Δ也是supp(f|k)的壹個前段,其對應的序數不超過j.因而α∈Δsupp((f|k)|j).反過來,若β∈supp((f|k)|j),則supp(f|k)有壹個前段Δ,使得對應於Δ的序數不超過j,且β∈Δ.顯然,Δ也是supp(f)的壹個前段,其對應序數不超過j.因而,β∈Δsupp(f|j).因此,supp((f|k)|j)=supp(f|j).此外,對於α∈supp(f|j),易見(f|k)|j(α)=f(α)=f|j(α).結論(4)獲證.
(5)假若f|k＇<g|k＇,對於某個k＇∈Ω.令π=w(f|k＇-g|k＇),則f|k＇(π)<g|k＇(π).不失壹般性,設π∈supp(f|k＇).記Δ={x∈supp(f|k＇)|x<π}.由引理1知,Δ∪{π}是supp(f|k＇)的壹個前段,且supp(g|k＇)=Δ或有前段Δ∪{α},其中απ.當supp(g|k＇)=Δ時,我們可斷定supp(g)=Δ.事實上,如若不然,則supp(g)中有壹個最小元素β,使得βΔ.顯然,Δ∪ {β}是supp(g)的壹個前段,且同構於Δ∪{π}.由於π∈supp(f|k＇),從而π∈Δ＇,這裏Δ＇是supp(f)的壹個前段,其對應序數不大於k＇.由此有,Δ∪{β}supp(g|k＇),矛盾!因此,supp(g)=Δ或有壹個前段Δ∪{α},這裏απ.於是w(f-g)=π.此時有f(π)=f|k＇(π)<g|k＇(π)=g(π),從而f<g.因而,(5)獲證.
(6)充分性由(5)即得.現設f>g,且π=w(f-g),則f(π)>g(π).記Δ={x∈supp(f)|x<π}.當π∈supp(f)時,Δ∪{π}是supp(f)的壹個前段,同時supp(g)=Δ或者有壹個前段Δ∪{α},這裏απ.用k表示Δ∪{π}的對應序數,則supp(f|k) =Δ∪{π},且supp(g|k) =Δ或Δ∪{α}.顯然,w(f|k-g|k)=π,且f|k(π)=f(π)>g(π)=g|k(π).因而f|k>g|k. π∈supp(g)的情況類似可證.
(7)假若f|k0g|k0對於某個使得k0>j的k0∈Ω,則由(4)和(5)有, f|j=(f|k0) |j(g|k0)|j=g|j,與所設矛盾!證畢.
Γ(Gi| i∈S)的壹個非空子集A={fj| j∈J}稱作壹個前段集,如果它對於關系是壹個全序子集(鏈).此時,我們有Γ(Gi| i∈S)中唯壹元素f,使得,supp(f)=∪j∈J supp(fj),且f(s)=fj(s),只要s∈supp(fj), j∈J.在下文中,這個元素f將記作:或簡記作:f=lim fj.