如上圖所示，左邊是原始圖像（左白右黑），中間是DFT變換，右側為變換後生成的頻譜圖（幅度相位***同決定了圖中點亮度）。
上圖展示了紅色點(x,y)的變換，在縱軸方向，它所在的列顏色值都為0（黑色），因此組成它的波形也能量也都為0，在橫軸方向，如中間圖所示，左則為255（白色），右則為0（黑色），將其拆分成正弦波的組合，再利用拆分後的各個波的幅度（亮度）相位（亮度）以及頻率大小（位置）生成頻譜圖（上圖中簡化了相位）。
原始圖中的每個像素點，是由不同頻率波投射在該點的能量疊加而成的，而頻譜圖中的每個點是原始圖中每個像素點在該頻率上的能量疊加而成的。它們之間都是壹對多的關系，不存在壹壹對應。
以上公式分別是壹維和二維DFT的定義（摘自《學習OpenCV》），先看看壹維DFT公式，其中x0…xN-1是N個復數，它是原始數據，如音頻數據中的每壹幀，圖像的像素點的灰度等，f是映射到頻域後的值，也是復數．下標n是x的變化範圍，下標k是f的變化範圍．二維空間公式同理．
圖像對應的二維空間舉例：把壹個256x256像素（Nx=256，Ny=256，***65536個點，每壹點視為x，其值為亮度）的灰度圖轉換到頻域，得到的也是壹個256x256的矩陣，矩陣中的每個點都是復數（每壹點視為f）．
每壹個f點的值，都由所有的x點通過上述公式累加求得．
拆分點x在各個頻率上的相位和幅度分量．exp()和正弦/余弦波的關系，詳見歐拉公式：
描述頻率三個重要屬性是：頻率高低、幅值、相位。
輸出的頻域數據也由矩陣表示，其中每個點都是復數，實部和虛部分別對應幅值和相位，而該點在矩陣中的位置表示它的頻率高低。
在很多例程中，變換後，都得到壹個從中間到四周的放射狀圖形，如上圖所示。
右側圖就是頻率分布圖譜，其中越靠近中心的位置頻率越低，越亮的位置代表該頻率的信號振幅越大。示意圖大多是經過頻譜中心化之後的圖，如：OpenCV的例程OpenCV/samples/cpp/dft.cpp．在該程序中可以看到調整象限的操作。即左上右下互換，右上左下互換。數字圖像的二維DFT所得結果，左上角是直流成分（圖像的平均灰度級），四個角周圍對應於低頻成分，中央部分對應於高頻部分。通過象限調整後，低頻位置被換到了中間，這稱為頻譜中心化。對顯示的頻譜圖而言，我們知道中間是低頻，周圍是高頻即可。低頻對應圖像大致輪廓，高頻對應圖像細節。
壹維DFT的系數對稱(2N點的數據做DFT，變換系數關於N點位置對稱，類似圖5)。這是因為DFT的的變換基是對0～2π分析的，因為0到π和π到2π對稱所以對稱。二維可理解為兩個壹維的組合（見圖1,2,3），因此它是從中心向四周擴散的。
圖像中的像素點與頻譜中的點雖然大小壹樣，但並沒有壹壹對應的關系（見圖4）
圖6中能量分布在中高頻區，從原始上看，它的細節比較多，局部跳變明顯（梯度大），可想見，組成它的波成也是在某壹中高頻波的能量更大，也就是說邊緣越多，變化的劇烈程序，中高頻波分量越多。
濾波壹般分為：低通（Low-pass）、高通（High-pass）、帶通（Band-pass）。所謂高通就是保留圖像中的高頻成分，過濾低頻成分，它類似於通過梯度求圖像邊緣。需要註意的是它過濾的是頻率，而不是亮度。
具體實現就是將圖片轉成頻譜圖，過濾某壹部分後，再通過逆變換轉成灰度圖。
圖像的旋轉平移等操作，只是位置變化，整體的亮度（能量）不變，但是在頻譜圖中卻有差異。這是由於變換之後相位的差異，在頻譜圖上看到的點，實際是由幅度和相位***同算出的（見dft.cpp中的magnitude函數）
利用DFT可以大大加快卷積運算的速度。卷積定理：空間域的卷積運算可以轉換為頻域的乘法運算。具體實現是將圖片轉換到頻域，將卷積核也轉換到頻域，計算頻域乘法，最後將乘積進行逆變換，轉回空間域。
壹般只在卷積核比較大時，才使用該方法優化。
把聲音拆成正弦波比較好理解，聲音是聲波的疊加：不同高度，寬度，起始位置的波的疊加。比如彈奏“do”，發出的聲音是琴弦振動的結果，弦的連續振動，必然是有規律的。人聽到的是壹系列基音和泛音組合的結果。聲音是時域到頻域的映射，維度是壹，即y=f(x)，其中x是幀發生的時間，y是該幀強度的大小。我們可以通過切分出壹個小的時間片 （do所在的時間段），把它拆分到頻譜，找個它的各個基音和泛音，進行對比，重組等等後續處理，人聲也是壹樣，當發出“啊“聲音的時候，也是壹系列振動引起的。頻率是聲音的局部特征，即從整條音頻中切出“do”或”啊”的時間片段，求取其頻譜。
把壹張畫拆分成頻率，首先把壹張彩圖拆成不同通道的灰度圖，考慮單張灰度圖的頻譜。圖片是空間到頻域的映射，維度是二，即z=f(x,y)，其中x,y是像素點的坐標，z是灰度。我們認為像素點間的灰度變化（即梯度）是有規律的。比如畫中，墻和窗相交邊緣上的各個點，變化都差不多（變化快，梯度大，頻率高），遠處雲與藍天的邊緣也有相似性（變化慢），在單色的區域，比如藍天整體變化不大（無變化），多處具體***同的性質，也是視作壹種重復，我們就把它提取為規律和特征。除了圖像音頻，還有很多地方都可以用到頻域映射，只要是有規律的重復出現即可，進而通過頻譜分析，什麽東西重復出現最多？它背後原因是什麽？
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