將烏龜看作是質點，那麽基本思路如下：
1.全部質點的運動都具有等價性，即運動過程中質點之間的相對幾何關系不變。
2.任何壹個質點瞬間運動方向是其軌跡曲線的切線方向。
根據題意，采用極坐標描述比較方便，推導過程之中采用直角坐標系輔助說明。以N個質點所
***圓之圓心為坐標原點 O，任意選擇壹個質點在 OX 軸上，那麽有：
標號為 k 的質點 Pk ，其直角坐標為Pk(xk,yk)，極坐標為Pk(r,θ+k*α)，其中，θ為質點
P0的相角，k為質點編號，α=2π/n。由於任何時候，每個質點相對坐標原點的距離相等，所
以r壹樣。
假定P0點初始坐標為P0(R,0)..................即初始圓半徑為 R
現在研究P0質點的運動，假定任意時刻 P0(x,y)，即有
x = r*cosθ....... dx = cosθ*dr - r*sinθ*dθ
y = r*sinθ....... dy = sinθ*dr + r*cosθ*dθ
P0追蹤的點為P1，其坐標為
x1 = r*cos(θ+α)
y1 = r*sin(θ+α)
P0運動軌跡的切線斜率為：
(y1 - y)/(x1 - x) = dy/dx ...........................(1)
(y1 - y)*dx
= r*[sin(θ+α) - sinθ]*(cosθ*dr - r*sinθ*dθ)
= 2r*sin(α/2)*cos(θ+α/2)*(cosθ*dr - r*sinθ*dθ)
= 2r*sin(π/n)*[ cos(θ+π/n)*cosθ*dr - r*cos(θ+π/n)*sinθ*dθ]
(x1 - x)*dy
= r*[cos(θ+α) - cosθ]*(sinθ*dr + r*cosθ*dθ)
= -2r*sin(π/n)*sin(θ+π/n)*(sinθ*dr + r*cosθ*dθ)
= -2r*sin(π/n)*[ sin(θ+π/n)*sinθ*dr + r*sin(θ+π/n)*cosθ*dθ]
展開(1)得到
(y1 - y)*dx - (x1 - x)*dy = 0
考慮到 r 僅僅在追趕的最後階段才是無窮小量，所以 r*sin(π/n) 可以約去，得到：
cos(π/n)*dr + r*sin(π/n)*dθ = 0
dr/r = -tg(π/n)*dθ .................................(2)
對(2)積分
ln(r) = -tg(π/n)θ + C
註意到初始條件，P0 坐標為(R,0)，得到
r = R*e^[-tg(π/n)θ] .................................(3)
令 K = tg(π/n) ，簡化為
r = R*e(-K*θ)
求解曲線長度，采用標準公式：(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 推導得到
ds = [(dr)^2 + (r*dθ)^2]^(1/2)
= [(dr/dθ)^2 + r^2]^(1/2)*dθ
= [K^2 + 1]^(1/2)*r*dθ
對 ds 積分，註意積分區間為(0,∞)
定義積分符號：S[f(x)dx](a,b) 表示f(x)的定積分，積分區間為(a,b)
曲線長度 L = S[ds](0,∞)
L = R*[1 + (1/K)^2]^(1/2)
代入 K = tg(π/n) 得到
L = R/sin(π/n) .....................................(4)
對於那個著名的馬丁·加德納四個烏龜問題，就是 n = 4 的特例，其總路徑長度 L = √2*R
即四邊形的邊長。