田畝丈量和天文觀測是我國幾何學的主要起源，這和外國沒有什麽不同，二者導出面積問題和勾股測量問題。稍後的計算容器容積、土建工程又導出體積問題。
我國古代幾何學的特色之壹是，依據這些方面的經驗成果，總結提高成壹個簡單明白、看起來似乎極不足道的壹般原理——出入相補原理，並且把它應用到形形色色多種多樣的不同問題上去。
以下將列舉這些不同的應用。
簡單應用和比例理論
所謂出入相補原理，用現代語言來說，就是指這樣的明顯事實：壹個平面圖形從壹處移置他處，面積不變。又若把圖形分割成若幹塊，那麽各部分面積的和等於原來圖形的面積，因而圖形移置前後諸面積間的和、差有簡單的相等關系。立體的情形也是這樣。
應用這壹原理，容易得出三角形面積等於高底相乘積的壹半這壹通常的公式，由此以定任意多角形的面積。作為另壹簡單實例，可以觀察左圖，如果看作把△ACD移置△ACB處，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ’、Ⅱ’，那麽依出入相補原理有：
Ⅲ＝Ⅲ’，□PC＝□RC，……（指面積相等）
由此得
PO×OS＝RO×OQ，PO×QC＝RB×BC，……
而 PO＝AR，OS＝QC，PQ＝AB，RB＝OQ，……
因而 AR∶OQ＝RO∶QC，AB∶OQ＝BC∶QC，……
就是相似勾股形ARO和OQC、ABC和OQC的相應勾股成比例。並且可以導出其他相應部分的比例關系。
以上這些極簡單的結果雖然沒有在《九章》中明白說出，但是曾經多處用這些關系來解決各種具體問題，參看《劉註》。
測望術和重差理論
在《周髀》中，就有用兩表測日影以求日高的方法，計算的公式是：
見右圖，其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先後兩表，DH和FI是日影。《海島》改測日高為測海島的高，同圖AB是海島，H、I是人目望島頂和兩表上端相參合的地方，於是日高公式成為：
劉徽證明和所用的圖都已經失傳，但是據現存《日高說》和殘圖以及其他佐證，原證當大致如下：
由出入相補原理，得
□JG＝□GB，（1）
□KE＝□EB，（2）
相減得 □JG－□KE＝□GD，
所以 （FI－DH）×AC＝ED×DF，
即 表目距的差×（島高－表高）＝表高×表距。
這就得到上述公式。
按《海島》***九題都屬測望之類，所得公式分母上都有兩測的差，“重差”這壹名稱可能由此而來。其余八題公式都可依出入相補原理用和上面類似的方法證明，現在從略。
元朱世傑《四元玉鑒》中有和《海島》完全類似的幾個題，朱世傑對這些題的解法應該有古代相傳下來的壹定來歷。依據朱對海島壹題的解法，我們認為原證比上面所示的可能稍復雜壹些。如下頁的圖，現在重作證明如下：
由出入相補原理，除（1）、（2）外又有
□PG＝□GD，（3）
由（1）、（2）、（3）得
□JN＝□EB＝□KE，
所以MI＝DH，（4）
FM＝FI－MI＝FI－DH＝表目距的差。
由（3）式就得到海島公式。
如果依照歐幾裏得幾何體系的習慣證法，那就自然應該添壹平行線GM’‖AH，如下圖，再利用相似三角形和比例理論作證。清代李璜以及近代中外數學史家大都依這壹方法補作海島公式的證明，這當然不是劉徽的原意，也和我國古代幾何的傳統相違背。註意作平行線的時候應有FM’＝DH，和前面（4）式相比，M和M’的位置完全不同。
明末耶穌會傳教士利瑪竇（1552—1610）來我國，他的主要學術工作之壹是介紹歐幾裏得幾何體系。他曾口授《測量法義》壹書，其中載有和海島題完全類似的壹題。在他所作的證明中，需要在FI上取壹點M使（4）式成立，再用比例理論作證，見本頁上圖。按常理來說，利瑪竇應該作平行線而取M’使FM’＝DH，但是他壹反歐幾裏得慣例而和我國古代傳統不謀而合，頗使人迷惑不解。現在提出這壹問題，希望大家***同探討。
勾股定理
在《周髀》和《九章》中，都已經明確給出了勾股定理的壹般形式：勾2＋股2＝弦2。雖然原證不傳，但是據《勾股說》以及《劉註》，都依出入相補原理證明，並且有遺留到現在可以用來作證的趙爽殘圖，這幾方面互相參照，原證應該大致如下：
如右圖所示，勾股形是ABC，BCED是勾方，EFGH是股方，把二者的和DBCFGH中的△IBD移到△ABC，△GIH移到△GAF，就得到ABIG＝弦2，由此就得到勾股定理。
歐幾裏得《幾何原本》中勾股定理的證明如下圖所示，其中要先證有關三角形全等形以及三角形面積的壹些定理，為此要作不少準備工作，因而在《幾何原本》中直到卷壹之末出現這壹定理，而在整個《幾何原本》中幾乎沒有用到。而在我國，勾股定理在《九章》中已經有多種多樣的應用，成為兩千來年數學發展的壹個重要出發點，參閱以下各節和文末附表。
在東西方的古代幾何體系中，勾股定理所占的地位是頗不相同的。