證明：
1）充分性，對於向量 a(a≠0)、b，如果有壹個實數λ，使 b=λa，那麽由 實數與向量的積的定義 知，向量a與b***線。
2）必要性，已知向量a與b***線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那麽當向量a與b同方向時，令 λ=m，有 b =λa，當向量a與b反方向時，令 λ=-m，有 b=-λa。如果b=0，那麽λ=0。
3）唯壹性，如果 b=λa=μa，那麽 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。
證畢。
[編輯本段]推論
推論1
兩個向量a、b***線的充要條件是：存在不全為零的實數λ、μ，使得 λa+μb=0。
證明：
1）充分性，不妨設μ≠0，則由 λa+μb=0 得 b=(λ/μ)a。由 ***線向量基本定理 知，向量a與b***線。
2）必要性，已知向量a與b***線，若a≠0，則由***線向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，實數λ、μ不全為零。若a=0，則取μ=0，取λ為任意壹個不為零的實數，即有 λa+μb=0。
證畢。
推論2
兩個非零向量a、b***線的充要條件是：存在全不為零的實數λ、μ，使得 λa+μb=0。
證明：
1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a。由 ***線向量基本定理 知，向量a與b***線。
2）必要性，∵向量a與b***線，且a≠0，則由 ***線向量基本定理 知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，實數λ、μ全不為零。
證畢。
推論3
如果a、b是兩個不***線的向量，且存在壹對實數λ、μ，使得 λa+μb=0，那麽λ=μ=0。
證明：（反證法）
不妨假設μ≠0，則由 推論1 知，向量a、b***線；這與已知向量a、b不***線矛盾，故假設是錯的，所以λ=μ=0。
證畢。
推論4
如果三點P、A、B不***線，那麽點C在直線AB上的充要條件是：存在唯壹實數λ，使得
向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。
證明：
∵三點P、A、B不***線，∴向量AB≠0，
由 ***線向量基本定理 得，
點C在直線AB上 <=> 向量AC 與 向量AB ***線 <=> 存在唯壹實數λ，使 向量AC=λ·向量AB
∵三點P、A、B不***線，∴向量PA 與 向量PB 不***線，
∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。
證畢。
推論5
如果三點P、A、B不***線，那麽點C在直線AB上的充要條件是：存在唯壹壹對實數λ、μ，使得
向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）
證明：
在推論4 中，令 1-λ=μ ，則λ+μ=1，知：
三點P、A、B不***線 <=> 點C在直線AB上的充要條件是：存在實數λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）
下面證唯壹性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，則 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，
即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0，
∵三點P、A、B不***線，∴向量PA 與 向量PB 不***線，
由 推論3 知，m=λ，n=μ。
證畢。
推論6
如果三點P、A、B不***線，那麽點C在直線AB上的充要條件是：存在不全為零的實數λ、μ、ν，使得
λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。
證明：
1）充分性，由推論5 知，若三點P、A、B不***線，則 點C在直線AB上 <=> 存在實數λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）。
取ν=-1，則有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且實數λ、μ、ν不全為零。
2）必要性，不妨設ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，則 向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，（-λ/ν）+（-μ/ν）=1。由推論5 即知，點C在直線AB上。
證畢。
推論7
點P是直線AB外任意壹點，那麽三不同點A、B、C***線的充要條件是：存在全不為零的實數λ、μ、ν，使得
λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。
證明：（反證法）
∵點P是直線AB外任意壹點，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0，且 向量PA、向量PB、向量PC兩兩不***線。
由推論6 知，實數λ、μ、ν不全為零，
1）假設實數λ、μ、ν中有兩個為零，不妨設λ≠0，μ=0，ν=0。則 λ向量PA=0，∴向量PA=0。這與向量PA≠0。
2）假設實數λ、μ、ν中有壹個為零，不妨設λ≠0，μ≠0，ν=0。則 λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=（μ/λ）·向量PB，∴向量PA 與 向量PB***線，這與向量PA 與 向量PB不***線矛盾。
證畢。
[編輯本段]***線向量定理
定理1
⊿ABC中，點D在直線BC上的充要條件是
其中
都是其對應向量的數量。
證明：有推論5 即可證得。
定理2
⊿ABC中，點D在直線BC上的充要條件是
其中
都是有向面積。通常約定，頂點按逆時針方向排列的三角形面積為正，頂點按順時針方向排列的三角形面積為負。
證明：由定理1 即可得證。