減向量的終點 當兩個向量的起點公***時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加： ABBCCDPQQRAR ，但這時必須“首尾相連” ．
3向量的減法 ① 相反向量：與a?長度相等、方向相反的向量，叫做a?
的相反向量 記作a ,
零向量的相反向量仍是零向量 關於相反向量有： （i）)(a=a? ； (ii) a?+(a?)=(a?)+a?=0?； (iii)若a? 、b?是互為相反向量，則a?=b?,b?=a?,a?+b?=0
②向量減法：向量a?加上b?的相反向量叫做a? 與b?的差， 記作：)(baba求兩個向量差的運算，叫做向量的減法 ③作圖法：ba可以表示為從b?的終點指向a?的終點的向量（a?、b? 有***同起
點）
4實數與向量的積： ①實數λ與向量a?的積是壹個向量，記作λa? ，它的長度與方向規定如下：
（Ⅰ）aa ； （Ⅱ）當0?時，λa?的方向與a?的方向相同；當0?時，λa?的方向與a ? 的方向相反；當0?時，0 a?
，方向是任意的
②數乘向量滿足交換律、結合律與分配律
5兩個向量***線定理： 向量b?與非零向量a? ***線?有且只有壹個實數?，使得b?=a?
6平面向量的基本定理： 如果21,ee 是壹個平面內的兩個不***線向量，那麽對這壹平面內的任壹向量 a? ，有且只有壹對實數21,?使：2211eea，其中不***線的向量21,ee?叫做表
示這壹平面內所有向量的壹組基底
7 特別註意: （1
）向量的加法與減法是互逆運算 （2
）相等向量與平行向量有區別，向量平行是向量相等的必要條件 （3）向量平行與直線平行有區別，直線平行不包括***線（即重合），而向量平行
則包括***線（重合）的情況 （4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與
其相對位置有關
3 學習本章主要樹立數形轉化和結合的觀點，以數代形，以形觀數，用代數的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用***線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂
直等由於向量是壹新的工具，它往往會與三角函數、數列、不等式、解幾等結
合起來進行綜合考查，是知識的交匯點 例1 給出下列命題： ① 若|a?|＝|b?|，則a?=b? ； ② 若A，B，C，D是不***線的四點，則ABDC? 是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③ 若a?=b?，b?=c?，則a?=c?， ④a?=b?的充要條件是|a?|=|b?|且a?//b?； ⑤ 若a?//b?，b?//c?，則a?//c?，
其中正確的序號是 解：①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不壹定相同． ② 正確．∵ ABDC?，∴ ||||ABDC? 且//ABDC， 又 A，B，C，D是不***線的四點，∴ 四邊形 ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則，//ABDC且||||ABDC? ， 因此，ABDC? ． ③ 正確．∵ a?=b?，∴ a?，b? 的長度相等且方向相同； 又b?＝c?，∴ b?，c? 的長度相等且方向相同， ∴ a?，c?的長度相等且方向相同，故a?＝c?． ④ 不正確．當a?//b?且方向相反時，即使|a?|=|b?|，也不能得到a?=b? ，故|a?|=|b?|且a?//b?不是a?=b? 的充要條件，而是必要不充分條件． ⑤ 不正確．考慮b?=0? 這種特殊情況． 綜上所述，正確命題的序號是②③． 點評：本例主要復習向量的基本概念．向量的基本概念較多，因而容易遺忘．為此，復習壹方面要構建良好的知識結構，另壹方面要善於與物理中、生活中的模型進行類比和聯想． 例2 設A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡： ①ABBCCD?，②DBACBD? ③OAOCOBCO
6 例2已知點)6,2(),4,4(),0,4(CBA,試用向量方法求直線AC和OB（O為坐標原點）交點P
的坐標 解：設(,)Pxy，則(,),(4,)OPxyAPxy 因為P是AC與OB的交點 所以P在直線AC上，也在直線OB上 即得//,//OPOBAPAC 由點)6,2(),4,4(),0,4(CBA得，(2,6),(4,4)ACOB 得方程組6(4)20 440xyxy 解之得3 3 xy? 故直線AC與OB的交點P的坐標為
(3,3) 三．平面向量的數量積
1兩個向量的數量積： 已知兩個非零向量a?與b?，它們的夾角為?，則a?·b?=︱a? ︱·︱b?︱cos? 叫做a? 與b?
的數量積（或內積） 規定0
0a
2
向量的投影：︱b?︱cos?=|| ab a∈R，稱為向量
b?在a?方向上的投影
投影的絕對 值稱為射影
3數量積的幾何意義： a?·b?等於a?的長度與
b?在a? 方向上的投影的乘積
4向量的模與平方的關系：22||aaaa
5
乘法公式成立： 2 222abababab； ?2 2 2 2abaabb
222aabb
6平面向量數量積的運算律： ①交換律成立：abba ②對實數的結合律成立： abababR ③分配律成立：?abcacbccab ? 特別註意：（1）結合律不成立：abcabc ； （2）消去律不成立abac 不能 bc
7 （3）ab =0不能 a?=0? 或b?=0
7兩個向量的數量積的坐標運算： 已知兩個向量1122(,),(,)axybxy ，則a?·b?=1212xxyy
8向量的夾角：已知兩個非零向量a? 與b?，作OA=a?, OB=b?,則∠AOB=? （0 0 1800）叫做向量a? 與b?
的夾角 cos?
=cos,ab abab=
2 2 2221212121yxyxyyxx
當且僅當兩個非零向量a?與b?同方向時，θ=00 ，當且僅當a?與b?反方向時θ
=1800 ，同時0? 與其它任何非零向量之間不談夾角這壹問題 9
垂直：如果a?與b?的夾角為900 則稱a?與b?
垂直，記作a?⊥b? 10兩個非零向量垂直的充要條件：
a?⊥b?a? ·b?＝O?02121?yyxx平面向量數量積的性質 例1 判斷下列各命題正確與否： （1）00a ；（2）00a； （3）若0,aabac? ，則bc； ⑷若abac，則bc當且僅當0a 時成立； （5）()()abcabc
對任意
,,abc 向量都成立； （6）對任意向量a? ，有22aa?
解：⑴錯； ⑵對； ⑶錯； ⑷錯； ⑸ 錯；⑹對 例2已知兩單位向量a?與b?的夾角為0 120，若2,3cabdba?
，試求c?與d? 的夾角
解：由題意，1ab，且a? 與b?
的夾角為
0120， 所以，01 cos1202 abab， 2ccc(2)(2)abab 22447aabb?，