/101resource004/wenjianku/200407/101ktb/lanmu/JAAS0043/JAAS0043.htm
/teacher/details.asp?TopicAbb=design&SubjectAbb=sx&FileName=G10sxs240t0003.htm&FileID=654&Title=%B7%B4%BA%AF%CA%FD
都不錯的。
1．使學生正確理解反函數的概念，初步掌握求反函數的方法.
2．培養學生分析問題、解決問題的能力及抽象概括的能力.
3．使學生思維的深刻性進壹步完善.
教學重點與難點
教學重點是求反函數的技能訓練.
教學難點是反函數概念的理解.
教學過程設計
壹、揭示課題
師：今天我們將學習函數中壹個重要的概念——反函數.
(板書：反函數 1.反函數的概念)
二、講解新課
三、師：什麽是反函數呢？讓我們壹起來思考這樣壹個問題：在函數中，如果當作因變量，把y當作自變量，能否構成壹個函數呢？
生：可以構成壹個函數.
師：為什麽是個函數呢？
生：在y允許取值範圍內的任壹值，按照法則→都有唯壹的x與之相應.師；根據這位同學的表述，這是符合函數定義的，也就是說，按照上述原則，函數是存在反函數的.這個反函數的解析式是怎樣的呢？
生：應該是.
師：這種表示方法是沒有問題的，但不符合我們的習慣，按習慣用字母x表示自變量，用字母y表示因變量，故這個函數的解析式又可以寫成這樣改動之後，帶來這樣壹個問題，即和是不是同壹函數呢？
生：是.
師：能具體解釋壹下嗎？
生：從函數三要素的角度看，和具有相同的定義域和值域，皆為R，同時對應法則都是自變量減1除以2得因變量，也是相同的，所以它們是相同的函數.
師：既然是相同的，我們就把稱作函數的反函數，同樣，函數y=x-1 2有沒有反函呢？
生：有.就是.
師：對.也就是說函數與函數是互為反函數的.那麽，是不是所有函數都會有反函數呢？
生：不是所有函數都有反函數.
師：能舉個例子說明嗎？
生：如函數，將y當作自變量，x當作因變量，在y允許取值範圍內，壹個y可能對應兩個x，如y=1則x=±1，因此不能構成函數，說明它沒反函數.
師：說得非常好．如果從形的角度來解釋，會看得更清楚，見圖1，從圖中可看出給出壹個y能對應兩個x．
缺圖1
通過對幾個具體函數的研究，了解了什麽是反函數，把前面對函數y=2x＋1的反函數的研究過程壹般化，概括起來就可以得到反函數的定義．由於這個定義比較長，所以我們壹起閱讀書上相關內容．（板書：（1）反函數的定義）
（要求學生打開書第60頁第二自然段，請壹名同學朗讀這壹段內容．）
為幫助學生理解定義中的描述，教師可以再以壹上具體函數為例解釋y=f(x)和x=j(y)之間的關系，同時應指出定義中”如果”二字的含義表示不是所有函數都有反函數．）
對於反函數有了初步的了解之後，下面進壹步對這個特殊的函數概念作點深入研究．
（板書：（2）對概念的理解．）
師：反函數的“反”字應當是相對原來給出的函數而言的，那麽它們之間有什麽關呢？不妨以剛才的兩個函數y=2x+1和為例加以研究．
生：對應法則不同．
師：能否說得再具體點，怎麽不同？
生：這兩個函數的對應法則中，x與y的位置換位．
（研究兩函數間的關系應從函數三要素角度入手研究，老師可適當引導學生向三要素靠攏．）
師：還有什麽聯系嗎？
生：當的定義域和值域分別是y=2x+1的值域和定義域．
師：根據剛才我們的討論，可以發現反函數的三要素是由原來函數決定的，當給出的函數確定下來後，其反函數的三要素也就確定下來了，可以簡記為“三定”．把這種確定關系具體化，也就是反函數的“反”字體現在什麽地方呢？
生：反函數的定義域就是原來函數的值域；反函數的值域就是原來函數的定義域；反函數的對應法則就是把原來函數對應法則中x與y的位置互換．
師：由此我們可以看到反函數的“反”實際體現為“三反”．在這“三反”中，起決定作用的就是x與y的反置，正是由於它們位置的改變，才把相應取值反置，從而引起另外兩“反”．
（板書：a.“三定”，b.“三反”）
師：從函數概念的角度來看，我們明確了原來函數與其反函數間的關系，當然還可以從其它方面入手進行研究，如：壹個函數有沒有反函數？若有反函數，它的性質如何？與原來函數的性質有什麽關系？通過前面幾個例子可以發現，上述問題中，原來函數的性質起著決定性作用，而且反函數的性質也與原來函數的性質相關．
由於函數和反函數有如此密切的關系，它已成為進壹步研究函數的重要方面．當我們研究某個函數性質時，如果這個函數有反函數，就可以在兩者中擇其簡而研究之，這就增加了函數的研究方法．
師：對反函數概念作了較全面認識之後，自然提出這樣壹個問題：如果壹個函數存在反函數，如何去求這個函數的反函數呢？壹起看這樣二個題目．
例1 求的反函數．
生：（板書）
解 由， 得
所以，所求反函數為
（在表述上不規範之處，先暫時不追究，待例2解完之後再壹起講評．）
例2 求的反函數．
生：（板書）
解 由y=得又所以故
．
師：下面請同學對兩個例題的表述作個評價．
生：例2所求的反函數是錯誤的，應為 (x≥2)
師：這和黑板上所得的函數有什麽不同嗎？
生：兩個函數的定義域分別是x≥1和x≥2，所以是不同的兩個函數．
師：為什麽是(x≥2)呢？
生：因為反函數的定義域應是原來給出函數f(x)的值域，而f(x)的值域應為y≥2，故所求反函數應為 (x≥2)．
師：說得很好．根據我們對反函數的認識，反函數的定義域就是原來給出函數的值域．所以，要求出反函數的定義域，就必須先求出原來函數的值域．那麽例2的求解過程應當怎樣調整呢？
生：由得，又x≥1,所以．因為的值域為，所以 (x≥2)．
師：通過剛才的討論，我們發現並解決了例2反函數的存在問題，同時也註意到求反函數必須明確指出其定義域，以保證結論的正確性．除此之外，還有什麽問題嗎？
生：為什麽沒有在例1中求原來所給函數的值域呢？
師：請同學們針對這個問題討論壹下．
生：因為原來所給的函數的值域是y≠0，這和所求出的反函數的定義域是x≠0為結論是壹致的，所以沒有出錯．
師：此題出現的這種結論的壹致性，應當說是壹種偶然，而不是必然．因此，在求反函數的過程中，必須要求出原來所給函數的值域，並且在最後結果中註明反函數的定義域．那麽，例1的規範書寫過程應如何調整呢？
生：（板書）
解 由，所以，所求反函數為
師：通過剛才對兩個具體例子的討論，能否總結壹下求用解析式表達的函數的反函數的基本步驟呢？
（板書：2．求反函數的步驟）
生：首先從解析式中解出x，其次求出所給函數的值域，最後再改寫為習慣的表示形式．
師：把這幾步用簡單的幾個字來概括壹下：
1．反解：即把解析式看作x的方程，求出反函數的解析式；
2．互換：既求出所給函數的值域並把它改換為反函數的定義域；
3．改寫：將函數寫成的形式．
（板書：1．反解 2．互換 3．改寫．）
師：下面通過幾個練習來看看同學們是否真正理解這三個基本步驟．
三、鞏固練習
練習 求下列函數的反函數
1．
（由壹個學生在黑板上完成．）
解 由 x=3 2y-2.
又f(x)=23x+3,x∈(-∞,3)的值域為 f(x)∈(-∞,4), 所以f-1(x)=32x-2,x∈(-∞,4).
2.y=x2-x+1(x≥12)
（由壹個學生在黑板上完成，兩題同時進行，其余學生在筆記本上完成，教師巡視．）
解 由 y=x2-x+1,得 x2-x+1-y=0,
所以 x=1±4y-32,
又 y=x2-x+1(x≥12)的值域為｛y|y≥34｝,所以，
f-1(x)1±4x-32(x≥34).
（待全體學生完成之後，結合黑板上學生的表述及其它學生解答中出現的問題進行講評．）
師：先看黑板上同學的表述有沒有問題，請加以糾正．
（壹學生在黑板上加以改正）由y=x2-x+1,得
x2-x+1-y=0,
所以x=1±4y-32 又x≥12,所以
x=1+4y-32
又y=x2-x+1(x≥12)的值域為｛y|y≥34｝,故所求反函數為
y=1+4x-32 (x≥34).
師：經過改正，兩個題目在表述上已經沒有問題了．下面結合其它同學求解中出現的壹些問題，談幾點註意．
（1） 求反函數的過程中必有壹步是求出原來所給函數的值域．求值域的方法有很多，如果所給函數是常見函數如壹次函數、二次函數等，不妨從“形”的角度求值域會比較方便直觀.
（2） 解關於x的壹元二次方程有兩個根，必須根據題目所給條件對x進行取舍，保留符合條件的唯壹解.
（3） 這兩個題目在反函數符號的使用上是有區別的，題目給出f(x)這個符號，則反函數可以用f-1(x)來表示，否則只能用文字敘述的形式.
四、小結
1.反函數是函數中壹個重要的概念，它是從研究兩個函數關系的角度產生的，因此認識它應從三要素角度進行研究.
2.壹個函數有沒有反函數是由原來給出函數的性質決定的，且反函數的性質也是由原來給出的函數性質決定的.
3.求反函數實際上就是辦兩件事，壹是解壹個關於自變量x的方程，二是求 壹個函數的值域.
五、作業
課本習題P65習題六第3題（1），（3），第4題.
課堂教學設計說明
反函數這節課是壹節概念課，因此這節課的成敗關鍵是反函數概念的建立.
反函數是函數中壹個特殊現象，對這個概念的研究是對函數概念和函數性質在認識上的深化和得高，所以學生對這個知識的學習是有壹定的知識基礎和認識基礎的，故應以學生的主體參與為主線，且是在教師主導作用下的思維與參與.
學生的思維是從問題開始的，因此本節課的起點應是壹個有較大思維空間的問題，所以在設計時選擇從壹個具體函數入手提供研究反函數的原則，讓學生在這個原則之下自己選擇研究方法，進行探討，在研究過程中，針對學生出現的障礙，適時、適當加以點撥，將學生思維引向正軌.
反函數概念的建立的關鍵在於讓學生能從兩個函數關系的角度去認識它，從而深化對函數概念的認識.在教學設計中，教師采用從具體的例子出發，用學生最熟悉的知識，最明顯的事例，幫助學生找到研究方法的角度，再逐步概括抽象出反函數意義，這樣也便於分散難點，突出重點.
對壹個概念的理解往往要通過某種具體的操作來體現,操作的靈活熟練程度也能體現出對概念理解的深度.因此這節課對反函數概念的理解最終是落在求反函數技能的形成和訓練上,在設計中教師采用讓學生嘗試、調整、概括、小結,最終形成求反函數基本步驟.在實踐中,鼓勵學生大膽嘗試,不怕失敗,在知識的學習過程中,教訓有時比經驗更深刻.
在這節課的教學設計中,從始至終都盡量讓學生能夠主動思考問題,提出問題,分析問題並解決問題,在積極活躍的思維過程中,不斷提高學生的數學能力和數學素養.
壹．課題：反壹．課題：反函數（1）
二．教學目標：
1．使學生理解反函數的；
2．弄清原函數與反函數之間的三要素的關系，特別是它們的定義域與值域的關系；
3．會求壹些函數的反函數，培養學生思維的嚴密性和靈活性。
三．教學重點、難點：
1．使學生在了解反函數的概念的基礎上，理解互為反函數的對應法則的互逆性；
2．弄清原函數與反函數的定義域與值域的關系；
3．通過求壹些函數的反函數，培養學生思維的嚴密性和靈活性。
四．教學過程：
（壹）復習引入
1．特殊的對應構成映射，特殊的映射得到函數，映射與函數的聯系與區別，函數的三要素。
2．特殊的映射：壹壹映射
對於這兩個對應，它們是不是映射？是不是壹壹映射？是不是函數？
那麽這兩個映射能不能構成到的映射嗎？如果能（顯然，只有壹壹映射才能），那麽到的映射所確定的函數與原函數又有何關系呢？
3．引例：在物理上，學過勻速運動的位移和時間的函數關系，即與（其中速度是常量）在中，位移是時間的函數。在中，時間是位移的函數。
在這種情況下，我們說函數是函數的反函數。
在函數（中，是自變量，是的函數。從函數中解出，就可以得到式子。這樣，對於在中任何壹個值，通過式子，都有唯壹的值和它對應。這就說明了，可以把作為自變量，作為的函數。 這時，我們就說是函數（的反函數。由此，我們可給出反函數的定義。
（二）新課講解
1．反函數定義：壹般的，函數中，設它的值域為。我們根據這個函數中的關系，用把表示出來，得到。如果對於在中的任何壹個值，通過，在中都有唯壹的值和它對應，那麽就表示是自變量，是自變量的函數。這樣的函數叫做函數的反函數，記作
說明：（1）為了符合習慣，我們常常對調函數中的字母，把它改寫成；
（2）符號的含義有二：其壹表明是原函數的反函數；其二表明是反函數的對應法則；
（3）對於任意壹個函數，它的反函數不壹定存在。如：在函數中，因為對於都有兩個值與它對應，所以不能構成的映射，更不能成函數。我們就說在函數沒有反函數。
按照映射的觀點，如果這個映射是壹壹映射，那麽這個映射所表示的函數存在反函數；如果表示壹個映射的函數不是壹壹映射，其反函數不存在。
2．反函數與函數的關系
（1）反函數與函數是相對的。如果函數有反函數，那麽函數 的反函數就是，即與互為反函數。
（2）與的定義域，值域正好對調。
說明：反函數的定義域是由原函數的值域確定，而不是由它的表達式確定。
3．例題分析：
例1． 求下列函數的反函數：
（1）（； （2）；
解：（1）由，解得，
所以，函數（的反函數是；
（2）由函數，解得，
所以，函數的反函數是 。
說明：求函數的反函數的壹般步驟是：
（1）反解，由解出，寫出的取值範圍；
（3）互換，得；
（4）寫出完整結論（壹定要有反函數的定義域）。
[練習]求下列函數的反函數：
（1）（； （2）
例2． 判斷下列函數是否有反函數。如有反函數，則求出它的反函數。
（1）；
（2）。
解：（1）令得到對應的兩根：
這說明函數確定的映射不是壹壹映射，因而它沒有反函數。
（2）由，得
∵，∴ ，
互換得
又由的值域可得反函數定義域為
所以，反函數為．
五．課堂小結：
1．反函數的定義。
2．怎樣的函數存在反函數。
3．求函數的反函數的壹般步驟是什麽？
六．作業：習題2.4 第1題
補充：求函數 （- 1≤ x < 0）的反函數。
二．教學目標：1．使學生了解互為反函數的函數圖象間的關系；
2．運用互為反函數的函數圖象間的關系解決函數的有關問題；
3．.通過由特殊到壹般的歸納，培養學生探索、猜想、論證的思維習慣。
三．教學重點：互為反函數的函數圖象間的關系。
四．教學過程：
（壹）復習：（提問）
1．反函數的定義；
2．反函數的求法。
練習：已知函數且有反函數，求的值。
（二）新課講解：
研究函數除從函數的三要素去研究外，還經常研究函數的圖象。如果函數（）的反函數是，那麽在直角坐標系中，它們的圖象有什麽關系？
例1．（1）求函數的反函數，並且畫出原函數與它的反函數的圖象。
解：從解得，因此函數的反函數是．
函數和它的反函數的圖象如圖所示（圖略）。
（2）求函數的反函數，並且畫出原函數與它的反函數的圖象。
解：從函數，解得．因此的反函數是
和它的反函數的圖象如圖所示（圖略）。
由這兩組圖象，我們可以觀察出互為相反數的兩個函數的圖象關於直線對稱。
說明：（1）如果是上的點，那麽是上的點，而與是關於直線對稱的，所以互為相反數的兩個函數的圖象關於直線對稱的；
（2），從而，有。
例2．設，函數的圖象與函數的圖象關於直線對稱，求．
解（法壹）：函數的值域為
∵，即， ∴，
∴，
即， ∴．
（法二）因為，
∴，即有，得， 所以，．
練習：已知的圖象關於直線對稱，則求的值。
解：∵的圖象關於直線對稱
∴的反函數是本身。
故有，∴
∴，
所以，．
例3．已知函數，
求：（1）及其；
（2）求的反函數。
解：（1）∵，
∴，其值域為，
又由 得，
∴
所以，．
（2）由，解得
∴的反函數為．
說明：並不是的反函數，而是的反函數。
題中有的形式，我們先求出，才能求出．
五．小結：1．互為反函數的函數圖象間的關系，即互為相反數的兩個函數的圖象關於直線對稱；
2．運用互為反函數的函數圖象間的關系解決函數的有關問題。
六．作業：習題2.4 第3，4，5題
補充：1．已知求．
2． 如果，求滿足的條件。
（答案：或）
反函數
壹、知識點內容和要求：
1、理解反函數的概念
2、了解原函數與其反函數的定義域與值域間的關系。
3、能熟練地求壹些較簡單的函數的反函數。
二、教學過程設計：
（壹）復習
1、映射的概念。
2、觀察下面三個映射：F：A→B
（1）甲乙相比，甲具有什麽特點：“壹對壹”即A中不同的元素在B中有不同函數
（2）甲丙相比，甲具有什麽特點：“壹對壹”即B中的每個元素在A中都有原函數
（3）指出：甲中映射：F：A→B同時具有兩種屬性：A中不同的元素，在B中有不同的系，B中的每個元素在A中都有原函數，這種映射F是從A到B的壹壹映射。
（二）新課
1、反函數的定義：壹般地，式子 表示y是自變量x的函數，設它的定義域為A，值域為C，
我們從式子 中解出x，得列式子 ，如果對於y在C中的任何壹值，通過式子 ，
x在A中都有唯壹確定的值和它對應，那麽式子 就表示x是自變量y的函數，這樣的函數
叫做函數 的反函數，記作 即： 。在函數式中 中，y表示
自變量，x表示函數，習慣上用x表示自變量，用y表示函數，為此對調函數式 中的字母x、
y，把它改寫成：
說明： 表示 的逆變換，同樣 是 的逆變換，即 和 是互逆的，要註意： 並不表示 的倒數，即 例如：若 是“開立方”，則 表示“立方”；若 是乘以2加上3，則 表示減去3再除以2。
2、反函數存在的條件：
由反函數的定義只有原象具有唯壹性的函數，即對定義域內任意的 能推斷出
成立的函數才具有反函數。
如： ，故 有反函數
而 （ ），當 =2， = ，雖然
故 沒有反函數
思考：偶函數是否有反函數？為什麽
3、反函數與原函數的關系
（1）原函數的定義域是反函數的值域，原函數的值域是反函數的定義域
（2） 互為反函數，設 的定義域為A，值域為C
則有：
4、反函數的求法
由反函數的定義求出已知函數的反函數，步驟如下：
（1）由
（2）交換 、
（3）根據 的定義域
例1：求下列函數的反函數
（1）
例2、已知
說明： 是偶函數，在整個定義域上不存在反函數，只有單調區間上才有反函數。
例3：已知函數 的反函數是 ，求a，b，c，的值（a=－2，b=－1，C=－3）
例4、求函數
提示分別求出 的反函數，再寫成壹個函數的分段形式：
例5：已知函數 的定義域 內存在反函數，且
求 的值
提示：兩種方法：法壹：先求出
法二：求出 解方程 得
例6：已知 在其定義域內是增函數，且存在反函數，求證 的反函數 在它的
定義域內也是增函數。
證明：設 的定義域為M，任取 且 令 , 則 壹
定在函數 的定義域內,由反函數的定義可知
,而 在其定義域內為增函數, 的 ,即
故 在其定義域內也亦為增函數
說明：互為反函數的兩個函數具有相同的增減性，應用此特性解題，將會得到更加簡便的方法
5、歸納小結
作業：1、P65 習題六（3、4、5）
2、若函數 在其定義域內存在反函數，求常數 的取值範圍
3、求