1.變差函數與協方差的函數關系
2γ(h)=E[Z(x)-Z(x+h)]2=E[Z(x)]2+E[Z(x+h)]2-2E[Z(x)·Z(x+h)]
在二階平穩條件下,當h=0時
Var[ Z(x)]=C(0) , ?x 即
C(0)=Var[Z(x)]=E[Z(x)]2-{E[Z(x)]}2=E[Z(x)]2-m2
則
E[Z(x)]2=C(0)+m2
E[Z(x+h)]2=C(0)+m2
另
Cov[Z(x),Z(x+h)]=E[Z(x)·Z(x+h)]-E[Z(x)]·E[Z(x+h)]=E[Z(x)·Z(x+h)]-m2-C(h)
於是
E[Z(x)·Z(x+h)]=C(h)+m2
將上式代入2γ(h)式得
2γ(h)=[C(0)+m2]+[C(0)+m2]-2[C(h)+m2]=2C(0)-2C(h)
所以
γ(h)=C(0)-C(h)或C(h)=C(0)-γ(h)
該式在二階平穩條件下,為變差函數γ(h)與先驗方差C(0)及協方差函數C(h)三者之間的重要關系式。說明C(h)存在,C(0)則存在,γ(h)也存在,當h=a(變程)時,C(a)=0,這時r(a)=C(0-)C(a)=C(0)(如下圖)。
γ(h)與C(h)關系圖
由於變差函數與協方差函數有C(h)=C(0)-γ(h)的關系,且C(h)是隨機過程Z(t)在時刻t1和t2處兩個隨機變量Z(t1)和Z(t2)的工階混合中心矩,而Z(x)作為區域化變量與其有相似性。因此,有助於了解協方差函數的性質和變差函數的性質。
2.協方差函數C(h)的性質
假設區域化變量Z(x)是二階平穩,則C(h)存在且平穩,便有:
※C(0)>0。
※C(h)=((h),C(h)對h=0直線對稱。
※C(h)|<C(0)。
※協方差函數反映了區域化變量Z(x)與Z(x+h)之間的相關程度,當h|變得太大時,上述兩個區域化變量之間的相關性即消失。
地質統計學(空間信息統計學)基本理論與方法應用
※C(h)應是非負定函數,即C(h)由構成的協方差函數矩陣應為非負定矩陣。
3.變差函數γ(h)的性質
假設區域化變量Z(x)滿足二階平穩假設,γ(h)存在且平穩,便有:
地質統計學(空間信息統計學)基本理論與方法應用
※γ(h)>0(因為方差永遠大於等於0)
※γ(-h)=γ(h)[因為γ(-h)=C(0)-C(-h)=γ(h)]
※[-γ(h)]必須是條件負定函數,即由[-y(xi-xj)]構成的矩陣必須是條件非負定矩陣,或者說,若條件 成立,則矩陣[-γ(xi-xj)]為負定矩陣。
※當h→∞時,
γ(∞)=C(0)-C(∞)=C(0)-0=C(0)
即當|h|→∞時,變差函數γ(h)→C(0)
C(0)為驗前方差。