為了說明外生增長與內生增長的關系，考慮勞動增進型的柯布－道格拉斯生產函數
y=k[α](al)[1-α]。假定不存在折舊，因此k=sy；此外，假定勞動和技術進步的增長率分別為n和g。對生產函數取對數並對時間求導得：
如果(2)式兩端等於零，即產出增長率僅等於外生參數勞動增長率和技術進步率之和(n+g)，則就是壹個外生增長模型；如果(2)式兩端均為正，則在外生參數n和g之外，由模型本身產生了增長，因此是壹個內生增長模型。新古典增長模型之所以是壹個外生增長模型，最主要的原因是資本收益遞減規律的存在（即{圖}隨著資本存量的增加而下降），使得(2)式右端在穩態中不能大於零。由此可以看出，任何內生增長模型都必須想方設法使資本邊際產品不致下降得太快。基本方法不外乎如下兩個方面：或者放棄新古典生產函數的核心假定（主要是資本收益遞減假定），或者在模型中引入其他機制，以使得資本邊際產品不至於下降得太快。所謂新增長理論或內生增長理論，不外乎從經濟本身尋找某種內在機制，使得資本收益遞減不至於下降得太快。最簡單的方式是直接放棄資本收益遞減規律的假定，這正是ak模型的做法。ak模型又稱凸性模型或線性模型，它通過假定產出是資本存量的線性函數而放棄了資本收益遞減的假定。這類模型的主要貢獻是揭示了“線性”對內生增長的重要性，但它同新古典增長模型壹樣，並沒有深入地研究技術進步的內在機制。
1.ak模型。上文表明，新古典增長模型之所以不能產生內生增長，最重要的原因是資本收益遞減規律的存在。壹種不存在資本收益遞減的最簡單的生產函數是：y=ak，其中a＞0是反映技術水平的常數，ak模型的稱謂正是由此而來。顯然，ak函數對應於α=1時的柯布－道格拉斯生產函數。假定資本積累方程仍為通常的k=sy-(n+g+δ)k，由生產函數y=ak和資本積累方程可得{圖}，即人均產出和人均資本的增長率均為sa-(n+g+δ)。顯然，只要sa＞n+g+δ，經濟就可以實現持續的增長。由此可以看出，即使不存在人口增長和外生的技術進步(n+g=0)，ak模型也可以產生內生增長（人均產出增長率為sa-δ）。
ak模型揭示了放棄資本收益遞減規律如何能夠導致內生增長。不過，該模型存在明顯的缺陷：其壹，該模型似乎過於簡單，直接放棄資本收益遞減規律似乎不符合人們的常識；其二，該模型不能預測絕對收斂或條件收斂，而條件收斂顯然是壹條經驗規律。如果將k僅視為物質資本，那麽ak生產函數顯然不符合經驗規律。不過，如果將k理解為包括人力資本在內的廣義資本概念，該生產函數也還大致說得過去。此外，ak模型直接放棄資本收益遞減規律似乎過於突兀，不過，內生增長模型（尤其是下文介紹的外部性模型）在很大程度上可以歸結為ak模型的形式：在這些模型中，雖然在個體水平上存在收益遞減，但由於外部性或溢出效應的存在，總量水平上則表現出不變收益或遞增收益。ak模型有助於我們理解這些更重要的模型。
至於ak模型對經驗規律即條件收斂的違反，我們可以對ak模型進行簡單的擴展，從而在保留資本收益不變特征的同時恢復模型的收斂性質。這正是多數凸性增長模型（如瓊斯和真野惠裏1990、雷貝洛1991等）的實際做法。我們知道，新古典生產函數能夠產生收斂，ak生產函數則能夠產生內生增長，將二者結合在壹起，我們就可以得到既具有內生增長又具有收斂性質的經濟增長模型。例如，假定生產函數是ak函數和柯布－道格拉斯函數的組合y=ak+k[α](bl)[1-α]。當k較小時，該生產函數表現出了新古典生產函數的性質，但隨著k
的增加，它漸進地收斂於ak形式；也就是說，該生產函數具有資本收益遞減的性質（從而具有收斂性質），但資本邊際產品的遞減是有下界的（從而產生內生增長）。
2.外部性模型。既不放棄資本收益遞減假定和完全競爭，又能產生內生增長的經濟增長模型，是以外部性和知識溢出為基礎的增長模型。它在經濟增長理論中具有較長的研究傳統，也是第壹輪內生增長模型的核心，在增長理論文獻中占有重要的位置。這類增長模型的基本特征是：其壹，技術進步、知識積累或人力資本積累是其他經濟活動的副產品，因而不需要補償並可維持完全競爭的分析框架；其二，個別廠商的生產函數表現為不變規模收益，但就整個經濟而言表現為規模收益遞增；其三，上述兩個特征決定了這類模型具有不同於新古典增長理論的政策含義，即政府政策不僅具有水平效應，而且具有增長效應。根據外部性來源的不同，這類模型有多種構造方式，如羅默的知識溢出模型、盧卡斯的人力資本模型和巴羅的公***品模型等，阿羅及其後繼者提出的“幹中學”模型則是這類模型的重要先驅。
(1)“幹中學”模型。針對新古典增長理論外生技術進步的假定，阿羅試圖提出壹個“知識積累的內生理論”並以此解釋技術進步現象。阿羅認為，知識的獲得即“學習”，是“經驗的產物”，而不僅僅是時間的函數。企業在進行投資和生產的過程中會逐步積累起生產經驗和更有效的生產知識，而這些知識能夠提高企業的生產效率；由於壹個企業獲得的生產經驗和生產知識也能夠被其他企業所利用，因此壹個企業的生產率可以視為整個經濟總投資的函數。也就是說，知識的創造是投資的“副產品”（即幹中學），知識的溢出導致了整個經濟生產率的提高（即溢出效應）。也就是說，從整個經濟來看，生產過程因生產率的提高而表現出遞增收益。不過，由於知識的創造是投資的“副產品”，不需要進行補償，因此仍可以維持完全競爭的分析框架。同時，由於生產率的提高是企業投資的“副產品”，個別廠商並沒有考慮到其投資活動對這個經濟生產率的影響，而是將它視為外生變量，因此，它的行為仍然像新古典模型中的廠商壹樣。於是，通過幹中學和溢出效應（或投資的外部性），我們可以在完全競爭的框架下得到內生的技術進步和經濟增長。
(2)羅默的知識溢出模型。在引起廣泛關註並重新煥發人們對增長問題產生興趣的羅默的經典論文中，羅默以阿羅的“幹中學”概念為基礎，提出了以知識生產和知識溢出為基礎的知識溢出模型。羅默假定代表性廠商的產出是該廠商的知識水平k[,i]、其他有形投入x[,i]（例如物質資本和原始勞動等）和總知識存量k的函數：y[,i]=f(k[,i],k,x[,i])。對於個別廠商的自身投入k[,i]和x[,i]而言，該生產函數表現出不變規模收益、滿足新古典生產函數的假定。然而，如果將k考慮在內，則這壹生產函數對於代表性廠商和整個經濟具有不同的含義：代表性廠商將總知識水平k視為給定的變量，因此生產函數表現為不變規模收益；但對整個經濟（假定它由n個同質的廠商組成）而言，由於對於任何常數λ＞1有f(λk[,i],λk,λx[,i])＞
f(λk[,i],k,λx[,i])=λf(k[,i],k,x[,i])，因此生產函數y=f(k,k,x)=f(k,nk,x)表現為規模收益遞增。在這裏，總知識水平k成為外部性的來源。此外，羅默還假定k的增長率取決於k水平和投資數額（產出中沒有用於消費的部分）。這樣，羅默模型實際上同“幹中學”模型壹樣，通過知識積累的“副產品”性質和知識存量的外部性得到了內生增長。
(3)盧卡斯的人力資本模型。在論述經濟增長的經典論文《論經濟發展的機制》中，盧卡斯提出和比較了三個模型：基於物質資本積累和技術進步的新古典增長模型、通過教育積累人力資本的內生增長模型和通過“幹中學”積累特定人力資本的增長模型。其中，第二個模型是
該文的核心模型，並被人們稱為盧卡斯模型。其核心假定是：其壹，人力資本的增長率是人們用於積累人力資本的時間比例的線性函數（這與純粹的“幹中學”模型有所不同），從而引入了人力資本生產部門；其二，工人的人力資本水平不僅影響自身的生產率，而且能夠對整個社會的生產率產生影響（每壹經濟個體在進行決策時不考慮這部分影響），這是該模型能夠產生遞增規模收益（整個經濟水平）和政府政策增長效應的基礎。由此可以看出，除了第壹個假定在性質上基本介於外部性模型和r&d模型之間外，盧卡斯模型與“幹中學”模型和羅默模型並沒有本質的不同。
3.r&d模型。外部性模型通過引入知識積累或人力資本積累，並借助於溢出效應得到了內生增長。r&d模型則明確地將技術進步或創新歸結為廠商有意識的、旨在獲取壟斷收益的活動，並運用壟斷競爭的分析框架進行分析。羅默指出，技術具有不同於傳統經濟物品的兩大特點：它是非競爭性的和部分排他性的。非競爭性意味著生產表現為規模收益遞增；部分排他性則為從事r&d活動的廠商提供了激勵（外部性模型抓住了技術的第壹個特征，但沒有抓住第二個特征）。以r&d為基礎的增長模型主要有兩類：壹類是將技術進步理解為產品種類的增加（例如新行業的開辟），壹類是將技術進步理解為產品質量的改進（例如同類產品的升級換代）。這兩類模型的主要區別在於後者引入了熊彼特的“創造性破壞性”概念，即新產品的出現往往意味著舊產品的被淘汰。
r&d模型之所以能夠提出，在很大程度上得益於產業組織理論的進展，使得經濟學家能夠對規模收益遞增和不完全競爭進行簡潔的分析和處理。其中，迪克西特－斯蒂格利茨(d-s)模型對r&d模型尤其產生了決定性的影響。幾乎所有的r&d模型都吸收了迪克西特和斯蒂格利茨的技巧：不是將創新視為產品種類的增加，就是將創新視為固定種類的產品質量的改進。其中，格羅斯曼和赫爾普曼、塞格斯特羅姆采用了原本意義上的d-s函數（即把d-s函數視為效用函數）；羅默、阿洪和霍維特則把它作為生產函數。
盡管存在這些不同，這類模型的核心特征是壹致的：技術進步或創新是企業有意識進行r&d投資的結果；來自創新的壟斷利潤則為企業從事r&d活動提供了市場激勵；分權經濟增長率壹般不等於社會最優水平，政府政策具有增長效應等。這些增長模型的主要區別是：在產品種類增加模型中，由於r&d活動的正外部性和市場結構的不完全競爭特征，分權經濟增長率總是低於社會最優水平；在產品質量改進模型中，由於新產品具有淘汰原有產品的“創造性破壞效應”（個別企業不考慮這種負外部性），因此分權經濟下的增長率既可能低於也可能高於社會最優增長率。
總的說來，盡管內生增長理論表現為形形色色的不同增長模型，但是絕大多數的內生增長模型實際上都可歸結為上述模型之壹或這些模型的某種組合。壹般而言，外部性模型具有簡潔、便於擴展和應用、易於進行計量檢驗的優點，r&d模型則更符合人們的直覺，具有更良好的經濟含義和更堅實的微觀基礎。利用這些模型，我們就能夠根據經濟的實際情況，更深入地分析經濟增長的內在機制。在具體的研究過程中，外部性模型比較適合於那些在總量水平上促進創新和技術進步的因素（如教育、經驗積累和基礎研究等），r&d模型則比較適合於對產業層次的創新活動並易於通過市場機制提供激勵（相對易於排他）的經濟活動的分