自回歸移動平均模型（ARIMA）包含壹個確定（explicit）的統計模型用於處理時間序列的不規則部分，它允許不規則部分可以自相關。
數據準備
可以看出在滯後 1 階的自相關值超出了置信邊界，但是其他所有在滯後1-20 階的自相關值都沒有超出置信邊界。
顯示在滯後 1，2 和 3 階時的偏自相關系數超出了置信邊界，為負值，且在等級上隨著滯後階數的增加而緩慢減少。
模型預測
ARIMA 模型自動預測
它對時間序列上面連續的值之間相關性沒有要求，指數平滑法可以用於時間序列數據的短期預測。
簡單指數平滑法
適用於沒有季節性變化且處於恒定水平以及沒有明顯趨勢的時間序列的預測。
獲取數據（數據來源為倫敦每年降雨量），通過 ts 函數轉換為時間序列.。
預測未來 5 年的降水量
藍線是預測 1913-1920 間的降雨量，深灰色陰影區域為 80% 的預測區間，淺灰色陰影區域為 95% 的預測區間。 forecast 提供了預測誤差的統計指標(residuals),來評估預測是否有改進的可能性：如果預測誤差是相關的，則很可能是簡單指數平滑預測可以被另外壹種預測技術優化。
可以發現自相關系數在第 3 期的時候達到了置信界限。為了驗證在滯後 1-20 階時非 0 自相關屬性是否顯著，可以借助 Box.test() 的 Ljung-Box檢驗。
統計量為 17.4，並且 P 值是 0.626 這樣的值不足以拒絕預測誤差在 1-20 階是非零自相關。
霍爾特指數平滑法
霍爾特指數平滑法可以用於非恒定水平，沒有季節性可相加模型的時間序列預測。 霍爾特指數平滑法是估計當前時間的水平和斜率。其平滑水平是由兩個參數控制，alpha：估計當前點水平，beta：估計當前點趨勢部分斜率。兩個參數都介於 0-1 之間，當參數越接近 0，大部分近期的觀測值的權值將較小。 數據來源是 1866 年到 1911 年每年女士裙子直徑，將數據通過 ts 函數轉換為時間序列，並畫出時序圖。
相關預測值中 alpha 值為 0.8383，beta預測值為 1.0，這些都是非常高的值，充分顯示了無論是水平上還是趨勢的斜率上，當前值對時間序列上的最近的觀測值的依賴關系比較重，這樣的結果也符合我們的預期，因為時間序列的水平和斜率在整個時間段內發生了巨大的變化。 總體來看，預測的效果也還不錯（紅色為預測值）。
預測未來 5 年的數據值，並畫出預測結果。
為了檢驗預測效果，我們同樣檢驗延遲 1-20 階中的預測誤差是否非零自相關，繼續采用 Ljung-Box 檢驗。
相關圖呈現樣本內預測誤差在滯後 5 階時超過置信邊界，其他都沒有超過，我們認為存在壹定的偶爾因素。
p =0.4749，意味著置信度只有 53% 這樣的值不足以拒絕預測誤差在 1-20 階是非零自相關，則我們接受預測誤差在 1-20 階是非零自相關的。
Holt-Winters 指數平滑法
有增長或者降低趨勢並且存在季節性波動的時間序列的預測方法。 Holt-Winters 算法中提供了 alpha、beta 和 gamma 來分別對應當前點的水平、趨勢部分和季節部分，參數的去執法範圍都是 0-1 之間，並且參數接近 0 時，近期的觀測值的影響權重就越小。 數據來源是澳大利亞昆士蘭州海濱紀念商品的月度銷售日子做為分析對象，將數據通過 ts 函數轉換為時間序列，並畫出時序圖。
可以通過取對數來減少極值帶來的影響，消除方差不齊。
通過 forecast 包來預測未來 12 個月的銷售數據，並畫出預測結果
模型非常成功得預測了季節峰值，峰值大約發生在每年的 12 月份。 還可以通過畫相關圖和進行 Ljung-Box 檢驗來檢查樣本內預測誤差在延遲 1-20 階時否是非零自相關的，並以此確定預測模型是否可以再被優化。
相關圖顯示出在滯後 1-20 階中樣本自相關值都沒有超出顯著（置信）邊界。
Ljung-Box 檢驗的 p 值為 0.6183，所以我們推斷在滯後 1-20 階中沒有明顯證據說明預測誤差是非零自相關的。