由地震波的傳播理論可知，在粘彈性介質中地震波是以地震子波的形式在地下傳播，地面接收到的反射波地震記錄是地層反射系數與地震子波的褶積，因此，地層相當壹個濾波器，使反射系數序列變成了由子波組成的地震記錄，降低了地震勘探的縱向分辨率。反濾波的目的就是要設計壹個反濾波器，再對地震記錄濾波，消除地層濾波的作用，提高地震記錄的縱向分辨率。
3.3.3.1 地震子波
地震子波是壹段具有確定的起始時間和有限能量有限延續長度的信號，它是地震記錄中地震波的基本單元。壹般認為，地震震源激發時所產生的地震波僅是壹個延續時間極短的尖脈沖，隨著尖脈沖在粘彈性介質中傳播，尖脈沖的高頻成分很快衰減，波形隨之增長，變成了壹個具有有限頻帶寬度和壹定延續時間的地震子波。地震波是以地震子波的形式在地下傳播。
3.3.3.1.1 地震子波的數學模型
實際中的地震子波是壹個很復雜的問題，因為地震子波與地層巖性有關，地層巖性本身就是壹個復雜體。但為了研究方便，仍需要對地震子波進行模擬，目前普遍認為雷克提出的地震子波數學模型具有廣泛的代表性，即稱為雷克子波。最小相位的地震子波的數學模型為
b(t)=e-αt2sin2π?t (3.3-25)
式中：?為子波的主頻；α=2?2ln(M)為子波衰減系數；M=｜m1/m2｜為最大波峰值 m1與最大波谷m2之比。由式(3.3-25)式計算的子波形狀如圖3-16所示。
圖3-16 雷克子波示意圖
3.3.3.2 子波的相位問題
將地震子波b(t)用傅裏葉變換求其頻譜為B(ω)，則有
B(ω)=｜ B(ω)｜ ejφ(ω) (3.3-26)
其中，｜B(ω)｜為子波的振幅譜，φ(ω)為子波的相位譜。像任何壹個波函數壹樣，該波函數的特性均可用它的振幅譜和相位譜刻畫。對復雜多變的子波，其變化最頻繁的是波形的衰減形式和延續度，因此，壹般地震子波具有較穩定的振幅譜，但有變化較大的相位譜。如果取
ψ(ω)=-φ(ω) (3.3-27)
稱ψ(ω)為相位延遲譜。對具有相同振幅譜的子波，可根據其相位延遲譜的不同進行分類。
地震子波的相位延遲也是壹個相對概念，例如有兩項(僅有兩個值)子波b1(n)={1，0.5}，b2(n)={0.5，1}，可寫成通式b(n)={a0，a1}，求取z變換
B(z)=a0+a1z (3.3-28)
再利用z=e-jωΔ可得振幅譜和相位譜
地震勘探原理、方法及解釋
將a0=1，a1=0.5及a0=0.5，a1=1代入，其結果為
地震勘探原理、方法及解釋
而相位延遲譜
地震勘探原理、方法及解釋
式中Δ為采樣率。可見兩個子波b1(n)和b2(n)有相同的振幅譜，但相位延遲譜不同。由於φ1(ω)相對φ2(ω)相位延遲少，則稱為最小延遲相位，簡稱最小相位。而φ2(ω)相對φ1(ω)相位延遲大，則稱為最大延遲相位，簡稱最大相位。
最小、最大相位子波在z域(z平面)可描述為求子波z變換方程(a0+a1z)=0 的零點α，即有
地震勘探原理、方法及解釋
當｜α｜＞1時，稱子波b(n)為最小相位子波。
｜α｜＜1時，稱子波b(n)為最大相位子波。
｜α｜=1時，稱子波b(n)為混合相位子波。
可將二項子波的相位分類推廣到n項子波分類，即設b(n)={b0，b1，…，bn}，其z變換為
B(z)=b0+b1z+b2z2+…+bnzn (3.3-33)
求B(z)多項式的全部零點(即根)αi，i=1，2，…，n，若全部零點在單位圓外(｜αi｜＞1，i=1，2，…，n)，則b(n)為最小相位子波。若全部零點在單位圓內(｜αi｜＜1，i=1，2，…，n)，則b(n)為最大相位子波。如果零點在單位圓內、外均存在，則b(n)為混合相位子波。可見子波的相位完全可根據子波z變換多項式的零點在z平面的位置判別，因此，可將z平面以單位圓分為兩個區，單位圓外為最小相位區，單位圓內為最大相位區，如圖3-17。另外三種相位子波的波形和能量特征是：最小相位子波的能量主要集中在前部，最大相位子波的能量主要集中在後部，而混合相位子波的能量主要集中在中部。三種相位子波如圖3-18所示。實際中的地震子波主要是最小相位子波和混合相位子波。
圖3-17 z平面上零點位置指示子波相位延遲性質
3.3.3.3 反濾波原理及方法
由前所述，地震記錄是地層反射系數序列r(t)與地震子波b(t)的褶積，即
x(t)=r(t)?b(t)(3.3-34)
由於子波的問題，使高分辨率的反射系數脈沖序列變成了低分辨的地震記錄，b(t)就相當地層濾波因子。為提高分辨率，可設計壹個反濾波器，設反濾波因子為a(t)，並要求a(t)與b(t)滿足以下關系
a(t)?b(t)=δ(t)(3.3-35)
圖3-18 m+1項信號的分類及反信號的特點
用a(t)對地震記錄x(t)反濾波
x(t)?a(t)=r(t)?b(t)?a(t)=r(t)?δ(t)=r(t)(3.3-36)
其結果為反射系數序列。以上即為反濾波的基本原理。
反濾波在具體實現時，核心是確定反濾波因子a(t)，由於地震子波的不確定性以及地震記錄中噪音幹擾的存在，實際中要確定精確的a(t)是非常困難的，甚至是不可能的。為此在不同的近似假設條件下，相繼研究了很多種確定反濾波因子a(t)的方法，這些方法基本可以分為兩大類：壹類是先求取地震子波b(t)，再根據b(t)求a(t)；另壹大類是直接從地震記錄中求a(t)。每壹類中又有很多不同的方法(就僅反濾波方法之多，說明了反濾波處理的難度)。下面就反濾波方法中具有代表性的幾種反濾波進行討論。
3.3.3.3.1 地層反濾波
地層反濾波屬於先求子波b(t)，再求a(t)的方法。該方法要求有測井資料以及較好的井旁地震記錄道。首先由聲波測井資料轉換與井旁地震記錄道x(t)相匹配的地層反射系數序列r(t)，對r(t)及x(t)求其頻譜可得頻率域方程為
X(ω)=R(ω)·B(ω) (3.3-37)
即有
地震勘探原理、方法及解釋
式中B(ω)為子波b(t)的譜，再由子波與反濾波因子的關系有
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經反傅裏葉變換得a(t)。式中A(ω)為反濾波因子的頻譜。寫成z變換，為A(z)= ，可見A(z)是壹個有理分式，要使A(z)具有穩定性，分母多項式B(z)的根必須在單位圓外，即要求子波b(t)為最小相位。
利用測井和井旁地震道求取子波及反濾波因子，即可用該反濾波因子對測線的其他道進行反濾波。
3.3.3.3.2 最小平方反濾波
最小平方反濾波是最小平方濾波(或稱維納濾波、最佳濾波)在反濾波領域中的應用。
最小平方反濾波的基本思想在於設計壹個濾波算子，用它把已知的輸入信號轉換為與給定的期望輸出信號在最小平方誤差的意義下是最佳接近的輸出。
設輸入信號為x(t)，它與待求的濾波因子h(t)相褶積得到實際輸出y(t)，即y(t)=x(t)?h(t)。由於種種原因，實際輸出y(t)不可能與預先給定的期望出 (t)完全壹樣，只能要求二者最佳地接近。判斷是否最佳接近的標準很多，最小平方誤差準則是其中之壹，即當二者的誤差平方和為最小時，則意味著二者為最佳地接近。在這個意義下求出濾波因子h(t)所進行的濾波即為最小平方濾波。
若待求的濾波因子是反濾波因子a(t)，對輸入子波b(t)反濾波後的期望輸出為d(t)，實際輸出為y(t)，按最小平方原理，使二者的誤差平方和為最小時求得的反濾波因子稱為最小平方反濾波因子，用它對地震記錄x(t)進行的反濾波為最小平方反濾波。
3.3.3.3.2.1 最小平方反濾波的基本方程
設輸入離散信號為地震子波 b(n)={b(0)，b(1)，…，b(m)}，待求的反濾波因子a(n)={a(m0)，a(m0+1)，a(m0+2)，…，a(m0+m)}，m0為a(t)的起始時間，(m+1)為a(t)的延續長度，b(n)與a(n)的褶積為實際輸出y(n)，即
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實際輸出與期望輸出的誤差平方和為
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要使Q為最小，數學上就是求Q的極值問題，即求滿足
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的濾波因子a(t)。
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為地震子波的自相關函數，而
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為地震子波與期望輸出的互相關函數，故式(3.3-41)可寫為
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這是壹個線性方程組，寫成矩陣形式為
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式中利用了自相關函數的對稱性。該方程中，系數矩陣為壹種特殊的正定矩陣，稱為壹般的托布裏茲矩陣，該矩陣方程可用萊文森遞推算法快速求解。
式(3.3-45)是最小平方反濾波的基本方程。該方程適應子波b(n)為最小相位、最大相位和混合相位。式中反濾波因子a(n)的起始時間m0與子波的相位有關，其取值規則由子波及反濾波因子的z變換確定。
因為m+1項地震子波b(n)={b(0)，b(1)，…，b(m)}為物理可實現信號，其z變換為B(z)，子波b(n)的反信號為a(n)，a(n)的z變換為A(z)，則有
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若求A(z)的z反變換則為反濾波因子a(n)，a(n)的存在位置由子波的z變換B(z)的根ai在z平面的位置決定。
1)當b(n)為最小相位時，所有根αi都滿足｜αi｜＞1，(3.3-46)式中每壹項展開成z的冪級數，每個因子中z的最低次方為0，m個因子相乘後z的最低次方仍為0，因此該式可寫成(取m+1項)
A(z)=a0z0+a1z1+…+anzn+…+amzm (3.3-47)
這表明，反濾波因子a(n)的起始時間m0=0，當n＜m0時，a(n)=0。
2)當b(n)為最大相位時，所有αi都滿足｜αi｜＜1，將A(z)展開成z的冪級數為
A(z)=…+a-m-3z-m-3+a-m-2z-m-2+a-m-1z-m-1+a-mz-m
若同樣取m+1項，其對應的反濾波因子a(n)={a(-m-m)，a(-m-m+1)，…，a(-m-3)，a(-m-2)，a(-m-1)，a(-m)}，m0=-2m，當-m＜n及n＜-2m時，a(n)=0。
3)當b(n)為混合相位時，根｜αi｜在單位圓內外均存在，並且｜αi｜≠1。若單位圓內的根按最大相位處理，單位圓外的根按最小相位處理，則混合相位子波的反濾波因子在時間坐標的正負兩邊都有值，兩邊值的個數取決根｜αi｜在單位圓內外的分布個數。
由此可見，地震子波的相位不同，其反濾波因子有較大的差異。不同相位子波與反濾波因子的對應關系如圖3-18所示。
另外，在求解(3.4-16)式時，需要選取希望輸出d(t)的函數形式，壹般可選d(t)為
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當式中d(t)=δ(t)時，即輸出為脈沖，稱a(n)為脈沖反濾波因子。若選式中第二項，則輸出為壹零相位波形，主頻為?0，這時可起到子波整形或相位轉換的作用，則稱a(n)為子波整形反濾波因子。以上處理中均在假設已知子波的條件下求反濾波因子，故統稱為子波處理或子波反濾波。在實際應用中若將(3.3-44)式寫成
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求解的反濾波因子為雙邊反濾波因子。
3.3.3.3.2.2 未知子波情況下的最小平方反濾波
壹般情況下地震子波是未知的。
為了在未知子波的情況下求出反濾波因子，必須對地震子波及反射系數序列加上壹定的限制或稱假設條件，它們包括
1)假設反射系數序列r(t)是隨機的白噪序列，即其自相關為
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2)假設地震子波是最小相位的。
根據第壹個假設，地震子波的自相關rbb(τ)可以用記錄x(t)的自相關代替，因為
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根據第二個假設，可知地震子波b(t)的z變換B(z)的零點全在單位圓外，也即反波因子a(t)的z變換A(z)=1/B(z)的極點全部在單位圓外，故a(t)是穩定的、物理可實現的，t＜0時的a(t)值全為零。因此，m0=0，自由項變為b(0)，b(-1)，…，b(-m)T。又因b(t)必為物理可實現的，故b(-1)=0，b(-2)=0，…，b(-m)=0。令a′(t)=a(t)/b(0)，則基本方程變為
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這就是地震勘探中常用的未知子波情況下求取反濾波因子的基本方程，其系數矩陣中各元素可直接由地震記錄求得。求出的反濾波因子a′(t)僅與a(t)相差常數倍，不影響壓縮子波、提高分辨率的反濾波作用。通常也稱之為尖脈沖化反濾波。
3.3.3.3.2.3 統計法子波求取方法
雖然子波壹般是未知的，但地震記錄中包含有子波，因此，可以從地震記錄中求取子波。目前求地震子波的方法也很多，下面介紹用多道統計求子波的方法。
若將子波作為壹般信號對待，則子波也可用s(t)表示，由前節證明，假設反射系數是隨機的白噪序列，則有地震記錄x(t)的自相關和子波s(t)的自相關相等，於是有記錄的振幅譜｜X(ω)｜和子波的振幅譜｜S(ω)｜相等
｜ S(ω)｜=｜ X(ω)｜ (3.3-53)
及譜的對數也相等
ln｜ S(ω)｜=ln｜ X(ω)｜
理論已證明，當子波為最小相位時，其對數譜序列(或稱復賽譜)S＾(n)是因果序列
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由於ln｜S(ω)｜為實偶函數，因此 (n)是實的因果序列。
任何實序列都可寫成奇部和偶部序列之和，故S＾(n)可寫成：
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即子波對數譜序列 (n)的奇部 (n)和偶數 (n)有下述兩個性質：
第壹，由於 (n)的因果性，其奇部和偶部有如下關系
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式中，
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第二， S＾(n)的偶部和奇部的傅裏葉變換為其傅裏葉變換的實部和虛部。設 (n)的傅裏葉變換為 (?)， (?)= (?)， S＾i(?)= (?)， (?)為子波的對數譜，則
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由傅裏葉變換性質有
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故有
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即
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於是求子波的方法可歸結為：
1)用多道統計方法獲得可靠的子波對數譜的實部。由子波譜
S(ω)=｜ S(ω)｜ ejφ(ω) (3.3-62)
則有
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由若幹道振幅譜的幾何平均(或多道記錄的相關函數平均)確定子波振幅譜的對數ln｜S(ω)｜。
2)由子波振幅譜對數求子波相位譜φ(ω)。計算公式為
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3)計算子波S(t)。由｜S(ω)｜及φ(ω)得
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由於幹擾的影響和反射系數序列不完全非相關性，故需對子波的振幅譜和相位譜進行整形處理。另外，這種方法理論上僅適應最小相位的情況，為適應混合相位記錄，可以先采用指數衰減的方法使地震記錄段最小相位化，再對求取的子波進行反向指數加權。
3.3.3.3.3 預測反濾波
預測問題是對某壹物理量的未來值進行估計，利用已知的該物理量的過去值和現在值得到它在未來某壹時刻的估計值(預測值)的問題。它是科學技術中十分重要的問題。天氣預報、地震預報、反導彈的自動跟蹤等都屬於這類問題。預測實質上也是壹種濾波，稱為預測濾波。
3.3.3.3.3.1 預測反濾波原理
根據預測理論，若將地震記錄x(t)看成壹個平穩的時間序列，地震子波b(t)為物理可實現的最小相位信號，反射系數r(t)為互不相關的白噪聲，由地震記錄的褶積模型，在(t+α)時的地震記錄x(t+α)為
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令j=s-α
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分析式(3.3-66)的第壹項
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可見這壹項是由反射系數r(t)的將來值決定的。若令第二項為
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(t+α)是t和t以前時刻的r(t)值決定的，也就是說 (t+α)可由現在和過去的資料預測，稱 (t+α)為預測值。求x(t+α)與 (t+α)的差值為
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ε(t+α)稱為預測誤差，或稱為新記錄。比較式(3.3-66)及式(3.3-67)，當預測值已知時，從原記錄x(t+α)中減去預測值 (t+α)後形成的新記錄ε(t+α)中比原記錄中涉及的反射系數少，與子波褶積後波形的幹涉程度輕，波形易分辨，即分辨率提高了。在上式中α稱為預測距或預測步長。當α=1時，
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即有
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這時(t+1)時刻的預測誤差與反射系數之間僅差壹個常數b(0)。因此，選預測距α=1，預測誤差為反射系數，達到了反濾波的目的，此時稱為預測反濾波。當α＞1 時，預測誤差為預測濾波結果。預測濾波主要用於消除多次波，尤其是消除海上鳴震。
3.3.3.3.3.2 計算預測值 (t+α)的方法
在預測濾波及預測反濾波中，關鍵是計算預測值 (t+α)，其方法如下。
由反濾波方程
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代入預測值 (t+α)的表達式
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式中：令τ=s-j，c(s)= b(j+α)a(s-j)稱為預測因子；a(t)為反濾波因子；預測值 (t+α)為預測因子c(s)與地震記錄的褶積。
現在需設計壹個最佳預測因子c(s)，使求取的預測值 (t+α)與x(t+α)最接近，即使預測誤差的平方和(誤差能量)
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為最小。根據最小平方原理，即求
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可得線性方程組
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j=0，1，2，…，m
式中：Rxx(τ)為地震記錄的自相關函數
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T為相關時窗長度，m+1是預測因子長度。將(3.3-73)寫成矩陣形式為
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解此方程組即可求得預測濾波因子c(t)，用它對地震記錄x(t)褶積可以求出未來時刻(t+α)時的最佳預測值 (t+α)。
3.3.3.3.3.3 關於反濾波問題的思考
提高縱向分辨率是地震勘探工作中的壹個重要任務。其理想結果是地震子波壓縮成為尖脈沖，地震記錄變為反射系數序列。如能得到這壹結果，就相當於完成了反演工作。但是，盡管目前發展了不少濾波方法，而實際應用的效果各有所長，通用性較差。
壹個重要的原因是各種反濾波方法都必須有若幹假設條件。地震記錄x(t)是地震子波b(t)和反射系數序列r(t)的褶積結果。地震勘探反濾波工作中通常只知地震記錄x(t)，不知道子波b(t)，此時要由x(t)求出唯壹的r(t)是不可能的。因此，必須對b(t)或r(t)作壹定限制，即假設條件，求出在這些假設條件下的唯壹最佳解，反濾波效果好壞同實際情況是否與這些假設條件壹致有很大關系。例如，最小平方反濾波、預測反濾波都要求子波為最小相位、反射系數序列為白噪。實際工作中地震子波往往是混合相位的，反射系數序列也不完全是白噪，這樣當然不可能得到理想的反濾波結果。因此，研究反濾波的壹個努力方向就是要發展和應用其假設盡可能接近實際的反濾波方法。
第二個原因是反射地震記錄的褶積模型問題。褶積模型中的地震子波是大地濾波器的脈沖響應。然而，大地濾波作用十分復雜，因此，地震子波隨之發生變化。反濾波中壹般都假設具有穩定的子波，這種假設與實際又有壹定的差距。
第三個原因是噪聲幹擾的影響。壹般反濾波方程中均未包含幹擾的因素，這對無噪聲的地震記錄在理論上是沒有多大問題的。但實際地震記錄均存在噪聲幹擾，由於噪聲幹擾屬隨機幹擾，其頻譜特征與反射系數相似，壹般反濾波後會使地震記錄信噪比降低。因此，在反濾波處理中要考慮分辨率和信噪比兩重因素，在提高分辨率的同時，盡量不降低信噪比。
第四個原因是原始地震資料的質量問題。用處理手段提高分辨率的能力是有限的，不是任何壹種資料用同樣的反濾波方法就能得到同樣的結果，而處理效果與地震記錄的原始質量有直接關系。野外采集的資料信息越豐富，處理效果越好。可見真正的高分辨記錄要從野外采集開始按高分辨的要求進行采集和處理。
最後需指出的是，每壹地區的地震資料都有壹個最佳分辨率，在提高分辨率處理時，不能盲目地追求分辨率有多高，而是要找到分辨率的最佳點，這時效果是最好的。如果處理不好，則會出現假象。