高斯消元法可用來找出下列方程組的解或其解的限制：
2x + y - z = 8 (L1)
-3x - y + 2z = -11 (L2)
-2x + y + 2z = -3 (L3)
這個算法的原理是：
首先，要將L1 以下的等式中的x 消除，然後再將L2 以下的等式中的y 消除。這樣可使整個方程組變成壹個三角形似的格式。之後再將已得出的答案壹個個地代入已被簡化的等式中的未知數中，就可求出其余的答案了。
在剛才的例子中，我們將3/2 L1和L2相加，就可以將L2 中的x 消除了。然後再將L1 和L3相加，就可以將L3 中的x 消除。
我們可以這樣寫：
L2 + 3/2 L1→ L2
L3 + L1 → L3
結果就是：
2x + y - z = 8
1/2 y + 1/2 z = 1
2y + z = 5
現在將 ? 4L2 和L3 相加，就可將L3 中的y 消除：
L3 + -4 L2 → L3
其結果是：
2x + y - z = 8
1/2y + 1/2z = 1
-z = 1
這樣就完成了整個算法的初步，壹個三角形的格式(指:變量的格式而言,上例中的變量各為3,2,1個)出現了。
第二步，就是由尾至頭地將已知的答案代入其他等式中的未知數。第壹個答案就是：
z = -1
然後就可以將z 代入L2 中，立即就可得出第二個答案：
y = 3
之後，將z 和y 代入L1 之中，最後壹個答案就出來了：
x = 2
就是這樣，這個方程組就被高斯消元法解決了。
這種算法可以用來解決所有線性方程組。即使壹個方程組不能被化為壹個三角形的格式，高斯消元法仍可找出它的解。例如在第壹步化簡後，L2 及L3 中沒有出現任何y ，沒有三角形的格式，照著高斯消元法而產生的格式仍是壹個行梯陣式。這情況之下，這個方程組會有超過壹個解，當中會有至少壹個變量作為答案。每當變量被鎖定，就會出現壹個解。
通常人或電腦在應用高斯消元法的時候，不會直接寫出方程組的等式來消去未知數，反而會使用矩陣來計算。以下就是使用矩陣來計算的例子：
2 1 -1 8
-3 -1 2 -11
-2 1 2 -3
跟著以上的方法來運算，這個矩陣可以轉變為以下的樣子：
2 1 -1 8
0 1/2 1/2 1
0 0 -1 1
這矩陣叫做“行梯陣式”。
最後，可以利用同樣的算法產生以下的矩陣，便可把所得出的解或其限制簡明地表示出來：
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 -1
最後這矩陣叫做“簡化行梯陣式”，亦是高斯－約當消元法指定的步驟。