兩個三角形的形狀、大小、都壹樣時，其中壹個可以經過平移、旋轉、對稱等運動（或稱變換）使之與另壹個重合，這兩個三角形稱為全等三角形，而兩個三角形全等的判定是幾何證明的有力工具。
2、 角形全等的判定公理及推論有：
（1）“邊角邊”簡稱“SAS”
（2）“角邊角”簡稱“ASA”
（3）“邊邊邊”簡稱“SSS”
（4）“角角邊”簡稱“AAS”
（5）“斜邊、直角邊”簡稱“HL”
註意：在全等的判定中，沒有AAA和SSA，這兩種情況都不能唯壹確定三角形的形狀。
3、 全等三角形的性質：
全等三角形的對應角相等、對應邊相等。
註意：
1）性質中三角形全等是條件，結論是對應角、對應邊相等。
而全等的判定卻剛好相反。
2）利用性質和判定，學會準確地找出兩個全等三角形中的對應邊與對應角是關鍵。在寫兩個三角形全等時，壹定把對應的頂點，角、邊的順序寫壹致，為找對應邊，角提供方便。
二、例題分析：
例1，如圖△ABC≌△DEF，AB和DE，AC和DF是對應邊，說出對應角和另壹組對應邊。
解：∵AB和DE，AC和DF分別為對應邊，
∴另壹組對應邊是BC和EF。
∴對應角為：∠A和∠D，∠B和∠E，∠ACB和∠DFE
例2，如圖，△ABE≌△ACD，AB=AC，寫出兩個全等三角形的對應角與對應邊，並問圖中是否存在其它的全等三角形。
分析：由AB=AC，則AB和AC是對應邊，可找AB的對角∠AEB，AC的對角∠ADC，則∠AEB和∠ADC為對應角。由∠A是這兩個三角形的公***角，它與其自身對應，因而∠A的對邊為BE、DC為對應邊，於是剩下的∠B、∠C是對應角。AE和AD是對應邊。
解：對應邊：AB和AC，BE和DC，AE和AD
對應角：∠A和∠A、∠B和∠C、∠AEB和∠ADC
∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE
又由∠B=∠C，∠DFB=∠EFC（對頂角相等）於是構成壹對全等三角形為△BFD和△CFE。
1、找全等三角形的對應邊，對應角的方法是：
（1）若給出對應頂點即可找出對應邊和對應角。
（2）若給出壹些對應邊或對應角，則按照對應邊所對的角是對應角，反之，對應角所對的邊是對應邊就可找出其他幾組對應邊和對應角。
（3）按照兩對對應邊所夾的角是對應角，兩對對應角所夾的邊是對應邊來準確找出對應角和對應邊。
（4）壹般情況下，在兩個全等三角形中，公***邊、公***角、對頂角等往往是對應邊，對應角。
2、利用兩個三角形的公***邊或公***角尋找對應關系，推得新的等量元素是尋找兩個三角形全等的重要途徑之壹。如圖（壹）中的AD，圖（二）中的BC
都是相應三角形的公***元素。圖（三）中如有BF=CE，利用公有的線段FC就可推出BC=EF。圖（四）中若有∠DAB=∠EAC，就能推出∠DAC=∠BAE。
3、三角形全等的判定是這個單元的重點，也是平面幾何的重點，只有掌握好全等三角形的各種判定方法，才能靈活地運用它們學好今後的知識。證明三角形全等有五種方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL為了判定兩個三角形全等，了解和熟悉下面的基本思路很有必要。
①有兩組對應角相等時；找
②有兩組對應邊相等時；找
③有壹邊，壹鄰角相等時；找
④有壹邊，壹對角相等時；找任壹組角相等（AAS）
說明：由以上思路可知兩個三角形的六個元素中、若只有壹對對應元素相等，或有兩對對應元素相等，則它們不壹定全等。因此要得出兩個三角形全等必須要有三對對應元素相等才有可能成立。若兩個三角形中三對角對應相等，它們只是形狀相同，而大小不壹定相等，所以這兩個三角形不壹定全等。如下圖（壹）因此要判定三角形全等的三對對應元素中，至少有壹對是邊。還要註意壹個三角形中的兩邊及其中壹邊所對的角對應相等，這兩個三角形不壹定全等。如圖（二）中，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B但△ABC和△ABD明顯的不全等。
註：全等三角形判定沒有（AAA）和（SSA）
例3，如圖，AD=AE，D、E在BC上，BD=CE，
∠1=∠2，求證：△ABD≌△ACE
分析：已知條件中已經給出了AD=AE，BD=CE，要證明△ABD≌△ACE，只需證明AD與BD，AE與EC的夾角相等，根據SAS，定理就可以得出結論。
證明：（1）
（2）在△ABD和△ACE中（註意書寫時必須把表示對應頂點的字母寫在對應位置上。）
（3）
（4）∴△ABD≌△ACE（SAS）
說明：全等三角形的論證，是研究圖形性質的重要工具，是進壹步學習平面幾何知識的基礎。
因為研究圖形的性質時，往往要從研究圖形中的線段相等關系或角的相等關系入手，發現和論證全等三角形正是研究這些關系的基本方法； 另壹方面，論證全等三角形又是訓練推理論證的起始，是培養邏輯推理能力的關鍵的壹環。
三角形全等證明的基本模式是：
題設△1≌△2
具體的可以分為四步基本格式。
（1）證明三角形全等需要有三個條件，三個條件中如有需要預先證明的，應預先證出。
（2）寫出在哪兩個三角形中證明全等。
（3）按順序列出三個條件，用大括號合在壹起，並寫出推理的根據。
（4）寫出結論。
例4，已知如圖，AC與BD相交於O,OA=OC，
OB=OD，求證：∠OAB=∠OCD。
分析：從已知條件出發，可以證出△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，由△AOD≌△COB，可得∠1=∠2，∠3=∠4，AD=BC，由△AOB≌△COD可得∠5=∠6，∠7=∠8，AB=CD，這個思路可在下圖列出：
對於簡單的幾何證明題，可以采用這種推理方法，這種方法是由已知推得甲，再由甲推得乙，再由乙推得丙……直至推得結論。這種方法是“由因導果”。如果從已知條件出發能推出的結果較多，要有目的地決定取舍，取與求證有聯系的，舍去與求證無關的。
證明：在△AOB和△COD中
∵
∴△AOB≌△COD（SAS）
∴∠OAB=∠OCD（全等三角形的對應角相等）
例5，已知如圖，AB=AC，∠1=∠2
AD⊥CD，AE⊥BE，求證：AD=AE
分析：AD、AE分別在△ADG和△AEH
中，∠1=∠2，可證出∠D=∠E但少壹對邊相等，因此此路不通。AD、AE又分別在△ADC和△AEB中，知道∠D=∠E，AB=AC，又已知∠1=∠2，可以證出∠DAC=∠EAB，所以通過△ADC≌△AEB，得出AD=AE這個思路可用下圖表示：
這種思考過程與例4所分析的思考過程恰好相反，它是從要證明的結論入手的，利用學過的公理，定理，定義等去推想：要證這個結論需要具備什麽條件？如果這個條件（記作條件甲）已具備了，那麽結論就成立，然後再去推想，如果需要條件甲成立，又需具備什麽條件？這樣壹步步向上追溯，直到所需要的條件能由已知條件推得為止，這是“執果索因”的過程。
這是思考過程，找到思路後，在證明中仍要像以前壹樣從已知開始，壹步步推出結論，書寫的表達與這個思考過程正好相反。
證明：∵AD⊥DC，（已知）∴∠D=900（垂直定義）
∵AE⊥BE（已知）∴∠E=900（垂直定義）
又∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC（等式性質）
即∠DAC=∠EAB
在△ADC和△AEB中
∵
∴△ADC≌△AEB（AAS）
∴AD=AE（全等三角形的對應邊相等）
例6，已知如圖，AB=DC，AD=BC，O是DB的中點，過O點的直線分別與DA和BC的延長線交於E、F，求證：∠E=∠F。
分析：欲證∠E=∠F有兩條思路；壹是證明DE//BF，則內錯角相等；壹是證明∠E和∠F所在的兩個三角形全等。從題中給定的已知條件中∠E、∠F所在的三角形似乎不具備條件，於是考慮證明DE//BF。欲證兩直線平行，常見的方法是考慮兩直線被第三條直線所截得的同位角，內錯角相等或同旁內角互補。此題圖中DE與BF被EF、AB、DC所截成的角只有內錯角，故只需證出壹組內錯角相等即可，據圖給定的條件不難證明∠DAB=∠BCD，進壹步可證原題。
證明：在△ABD和△CDB中
∵
∴△ABD≌△CDB（SSS）
∴∠1=∠2（全等三角形的對應角相等）
∴DE//BF（內錯角相等，兩直線平行）
∴∠E=∠F（兩直線平行，內錯角相等）
例7，如圖，已知△ABC中，AD=AE、BD⊥AC於D，CE⊥AB於E求證，∠DBC=∠ECB。
分析：欲證∠DBC=∠ECB，可證△BDC≌△CEB，從題中給定的條件不具備全等，而條件中又不能直接創造這兩個三角形全等，可考慮其它三角形全等，由條件可證△ABD≌△ACE得出BD=EC，再證△BEC≌△CDB即可。
證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知）
∴∠BDA=900，∠CEA=900（垂直定義）
∴∠BDA=∠CEA（等量代換）
在△ABD和△ACE中
∵
∴△ABD≌△ACE（ASA）
∴BD=EC（全等三角形的對應邊相等）
在Rt△BCE和Rt△CBD中
∵
Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)
∴∠DBC=∠ECB（全等三角形的對應角相等）
例8．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值．
分析壹：題目中的條件AB+BD=AC，使用起來不直觀。若延長AB，在延長線上取BM等於BD，則可以得到AB+BD=AM=AC，易於使用，這種方法叫“補短法”，通過補長線段，得到容易使用的相等線段。
解：延長AB到M，使BM=BD，連結DM，則AM=AB+BM=AC，∠1=∠2，AD=AD，
∴△ADM≌△ADC，∴∠M=∠C 又∵BM=BD，則∠M=∠BDM，∴∠ABC=2∠M=2∠C，即∠B:∠C=2:1
分析二：還可以在AC上截取AN=AB，就能將條件AB+BD=AC轉化為NC=BD。這種方法叫做“截長法”，和第壹種方法統稱“截長補短法”，常用於線段之間的關系證明或者條件的利用。
另壹解：如圖2：在AC上截取AN=AB，由條件易知△ABD≌△AND，則DN=DB
∠AND=∠B，又AC=AB+BD=AN+NC ∴NC=BD=ND，∴∠C=∠NDC
∴∠B=∠AND=2∠C ∴∠B:∠C=2:1．
註：此題中，使用了等腰三角形兩底角相等的知識，在小學中學生已學過，在初中幾何中3.12節還要學習．
附錄：
壹、本講教學內容及要求
單元 節次 知識要點 教學要求
二
全
等
三
角
形 3.4全等三角形 全等三角形的概念 A（B）
3.5--3.7
三角形全等的判定 (1)全等三角形的性質與判定
(2)三角形的穩定性 D A
3.8 直角三角形全等判定 直角三角形全等的判定 C
3.9角的平分線 （1）角平分線定理及其逆定理
（2）逆命題，逆定理 C（D）
B（C）
三
尺
規
作
圖 3.10基本作圖 （1）尺規作圖
（2）5種基本作圖 A C（D）
3.11作圖題舉例 作三角形、等腰三角形、直角三角形 B（C）
註：要求中的A、B、C、D是表示層次：
A、了解：對知識的涵義有感性的、初步的認識，能夠說出這壹知識是什麽，能在有關問題中識別它們。
B、理解：對概念和規律（定理、定律、公式、法則等）達到了理性認識，不僅能夠說出概念和規律是什麽，而且能夠知道它是怎樣得出來的，它與其它概念和規律之間的聯系，並掌握它的簡單應用。
C、掌握：壹般地說，是在理解的基礎上，通過練習，形成技能，能夠（或會）通過它去解決壹些問題。
D、靈活運用：是指應用知識達到迅速、靈活的程度，並能解決壹些復雜的問題。
B（C）中的表示教學要求，C表示彈性要求。
二、本講技能要求
1、能夠靈活運用全等三角形的判定定理或公理進行簡單的推理證明或會進行有關的計算。
2、會用尺規完成四個基本作圖，及簡單的應用。