即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由於，任何壹個勾股數組(a,b,c)內的三個數同時乘以壹個整數n得到的新數組(na,nb,nc)仍然是勾股數，所以壹般我們想找的是a,b,c互質的勾股數組。
關於這樣的數組，比較常用也比較實用的套路有以下兩種：
1、當a為大於1的奇數2n+1時，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
實際上就是把a的平方數拆成兩個連續自然數，例如：
n=1時(a,b,c)=(3,4,5)
n=2時(a,b,c)=(5,12,13)
n=3時(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
這是最經典的壹個套路，而且由於兩個連續自然數必然互質，所以用這個套路得到的勾股數組全部都是互質的。
2、當a為大於4的偶數2n時，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的壹半的平方分別減1和加1，例如：
n=3時(a,b,c)=(6,8,10)
n=4時(a,b,c)=(8,15,17)
n=5時(a,b,c)=(10,24,26)
n=6時(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
這是次經典的套路，當n為奇數時由於(a,b,c)是三個偶數，所以該勾股數組必然不是互質的；而n為偶數時由於b、c是兩個連續奇數必然互質，所以該勾股數組互質。
所以如果妳只想得到互質的數組，這條可以改成，對於a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：
n=2時(a,b,c)=(8,15,17)
n=3時(a,b,c)=(12,35,37)
n=4時(a,b,c)=(16,63,65)
勾股數
凡是可以構成壹個直角三角形三邊的壹組正整數，稱之為勾股數。
①觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…發現這些勾股數都是奇數，且從3起就沒有間斷過。計算0.5（9-1），0.5（9+1）與0.5（25-1），0.5（25+1），並根據妳發現的規律寫出分別能表示7，24，25的股和弦的算式。
②根據①的規律，用n的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想他們之間的兩種相等關系，並對其中壹種猜想加以說明。
③繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以發現各組的第壹個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過，運用上述類似的探索方法，之間用m的代數式來表示它們的股合弦。
設直角三角形三邊長為a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，這是構成直角三角形三邊的充分且必要的條件。因此，要求壹組勾股數就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整數解。
例：已知在△ABC中，三邊長分別是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求證：∠C=90°。此例說明了對於大於2的任意偶數2n(n＞1)，都可構成壹組勾股數，三邊分別是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。
再來看下面這些勾股數：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…這些勾股數都是以奇數為壹邊構成的直角三角形。由上例已知任意壹個大於2的偶數可以構成壹組勾股數，實際上以任意壹個大於1的奇數2n+1(n＞1)為邊也可以構成勾股數，其三邊分別是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，這可以通過勾股定理的逆定理獲證。
觀察分析上述的勾股數，可看出它們具有下列二個特點：
1、直角三角形短直角邊為奇數，另壹條直角邊與斜邊是兩個連續自然數。
2、壹個直角三角形的周長等於短直角邊的平方與另兩邊的和。
掌握上述二個特點，為解壹類題提供了方便。
例：直角三角形的三條邊的長度是正整數，其中壹條短直角邊的長度是13，求這個直角三角形的周長是多少？
用特點1解：設這個直角三角形三邊分別為13、x、x+1，則有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周長=13+84+85=182。
用特點2解：此直角三角形是以奇數為邊構成的直角三角形，因此周長=169+13=182。
勾股數的通項公式：
題目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均為正整數，求a,b,c滿足的條件.
解答：
結論1：從題目中可以看出,a+b>c （1）,聯想到三角形的成立條件容易得出。
結論2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2）
從（2）中可以看出題目的關鍵是找出a^2做因式分解的性質，令X=c+b,Y=c-b
所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3）
首先將Y做分解，設Y的所有因子中能寫成平方數的最大的壹個為k=m^2,所以Y=n*m^2 （4）
又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5）
比較(5)式兩邊可以a必能被m整除,且n中不可能存在素數的平方因子，否則與（4）中的最大平方數矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 （6），X=n'*m'^2,且 n'為不相同素數的乘積
將（5）式與（6）式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,（n,n'為不相同素數的乘積） （7）
根據（7）知n*n'仍然為平方數，又由於n',n均為不相同素數乘積知n=n'(自行證明，比較簡單）
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'
勾股數的常用套路
所謂勾股數，壹般是指能夠構成直角三角形三條邊的三個正整數(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由於，任何壹個勾股數組(a,b,c)內的三個數同時乘以壹個整數n得到的新數組(na,nb,nc)仍然是勾股數，所以壹般我們想找的是a,b,c互質的勾股數組。
關於這樣的數組，比較常用也比較實用的套路有以下兩種：
1、當a為大於1的奇數2n+1時，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
實際上就是把a的平方數拆成兩個連續自然數，例如：
n=1時(a,b,c)=(3,4,5)
n=2時(a,b,c)=(5,12,13)
n=3時(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
這是最經典的壹個套路，而且由於兩個連續自然數必然互質，所以用這個套路得到的勾股數組全部都是互質的。
2、當a為大於4的偶數2n時，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的壹半的平方分別減1和加1，例如：
n=3時(a,b,c)=(6,8,10)
n=4時(a,b,c)=(8,15,17)
n=5時(a,b,c)=(10,24,26)
n=6時(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
這是次經典的套路，當n為奇數時由於(a,b,c)是三個偶數，所以該勾股數組必然不是互質的；而n為偶數時由於b、c是兩個連續奇數必然互質，所以該勾股數組互質。
所以如果妳只想得到互質的數組，這條可以改成，對於a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：
n=2時(a,b,c)=(8,15,17)
n=3時(a,b,c)=(12,35,37)
n=4時(a,b,c)=(16,63,65)