其實,人們對數學與音樂之間聯系的研究和認識可以說源遠流長. 這最早可以追溯到公元前六世紀,當時畢達哥拉斯學派用比率將數學與音樂聯系起來[1]. 他們不僅認識到所撥琴弦產生的聲音與琴弦的長度有著密切的關系,從而發現了和聲與整數之間的關系,而且還發現諧聲是由長度成整數比的同樣繃緊的弦發出的. 於是,畢達哥拉斯音階(thePythagorean Scale) 和調音理論誕生了 , 而且在西方音樂界占據了統治地位. 雖然托勒密(C. Ptolemy ,約100 —165 年) 對畢達哥拉斯音階的缺點進行了改造 ,得出了較為理想的純律音階(the Just Scale) 及相應的調音理論 ,但是畢達哥拉斯音階和調音理論的這種統治地位直到十二平均律音階(the temperedScale) 及相應的調音理論出現才被徹底動搖. 在我國,最早產生的完備的律學理論是三分損益律, 時間大約在春秋中期《管子.地員篇》和《呂氏春秋.音律篇》中分別有述;明代朱載 (1536 - 1610) 在其音樂著作《律學新說》對十二平均律的計算方法作了概述,在《律呂精義 ?內篇》中對十二平均律理論作了論述,並把十二平均律計算的十分精確, 與當今的十二平均律完全相同, 這在世界上屬於首次.由此可見,在古代,音樂的發展就與數學緊密地聯系在了壹起. 從那時起到現在, 隨著數學和音樂的不斷發展,人們對它們之間關系的理解和認識也在不斷地加深.感覺的音樂中處處閃現著理性的數學.樂譜的書寫離不開數學.
看壹下樂器之王 ———鋼琴的鍵盤吧,其上也恰好與斐波那契數列有關. 我們知道在鋼琴的鍵盤上,從壹個 C 鍵到下壹個 C 鍵就是音樂中的壹個八度音程(如圖1) . 其中***包括13 個鍵,有8 個白鍵和5 個黑鍵 ,而 5 個黑鍵分成 2 組 ,壹組有 2 個黑鍵 ,壹組有 3 個黑鍵.2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契數列中的前幾個數.
如果說斐波那契數在鋼琴鍵上的出現是壹種巧合, 那麽等比數列在音樂中的出現就決非偶然了: 1、2、3、4、5、6、7、i等音階就是利用等比數列規定的. 再來看圖1,顯然這個八度音程被黑鍵和白鍵分成了12個半音,並且我們知道下壹個 C鍵發出樂音的振動次數(即頻率) 是第壹個 C 鍵振動次數的 2倍,因為用2 來分割,所以這個劃分是按照等比數列而作出的. 我們容易求出分割比 x ,顯然 x 滿足 x12= 2 ,解這個方程可得 x 是個無理數 , 大約是 1106.於是我們說某個半音的音高是那個音的音高的1106 倍 ,而全音的音高是那個音的音高 11062 倍. 實際上,在吉它中也存在著同樣的等比數列[3].
音樂中的數學變換.
數學中存在著平移變換,音樂中是否也存在著平移變換呢 ?我們可以通過兩個音樂小節[2]來尋找答案. 顯然可以把第壹個小節中的音符平移到第二個小節中去,就出現了音樂中的平移, 這實際上就是音樂中的反復. 把兩個音節移到直角坐標系中,那麽就表現為圖 3. 顯然,這正是數學中的平移. 我們知道作曲者創作音樂作品的目的在於想淋漓盡致地抒發自己內心情感,可是內心情感的抒發是通過整個樂曲來表達的,並在主題處得到升華,而音樂的主題有時正是以某種形式的反復出現的. 比如, 圖 4 就是西方樂曲 When the Saints GoMarching In 的主題[2] ,顯然 ,這首樂曲的主題就可以看作是通過平移得到的.
如果我們把五線譜中的壹條適當的橫線作為時間軸(橫軸 x) ,與時間軸垂直的直線作為音高軸(縱軸y) ,那麽我們就在五線譜中建立了時間 - 音高的平面直角坐標系. 於是, 圖 4 中壹系列的反復或者平移,就可以用函數近似地表示出來[2] , 如圖 5 所示,其中 x 是時間, y 是音高. 當然我們也可以在時間音高的平面直角坐標系中用函數把圖2中的兩個音節近似地表示出來.
在這裏我們需要提及十九世紀的壹位著名的數學家,他就是約瑟夫.傅裏葉 (Joseph Fourier) ,正是他的努力使人們對樂聲性質的認識達到了頂峰. 他證明了所有的樂聲, 不管是器樂還是聲樂, 都可以用數學式來表達和描述,而且證明了這些數學式是簡單的周期正弦函數的和[1].
音樂中不僅僅只出現平移變換,可能會出現其他的變換及其組合,比如反射變換等等. 圖6 的兩個音節就是音樂中的反射變換[2]. 如果我們仍從數學的角度來考慮,把這些音符放進坐標系中, 那麽它在數學中的表現就是我們常見的反射變換,如圖 7所示. 同樣我們也可以在時間 - 音高直角坐標系中把這兩個音節用函數近似地表示出來.
通過以上分析可知,壹首樂曲就有可能是對壹些基本曲段進行各種數學變換的結果.
大自然音樂中的數學.
大自然中的音樂與數學的聯系更加神奇,通常不為大家所知. 例如[2] , 蟋蟀鳴叫可以說是大自然之音樂,殊不知蟋蟀鳴叫的頻率與氣溫有著很大的關系,我們可以用壹個壹次函數來表示:C = 4 t – 160。其中 C代表蟋蟀每分鐘叫的次數, t 代表溫度.按照這壹公式,我們只要知道蟋蟀每分鐘叫的次數,不用溫度計就可以知道天氣的溫度了!
理性的數學中也存在著感性的音樂.
由壹段三角函數圖像出發,我們只要對它進行適當的分段,形成適當的小節, 並在曲線上選取適當的點作為音符的位置所在,那麽就可以作出壹節節的樂曲. 由此可見,我們不僅能像匈牙利作曲家貝拉 .巴托克那樣利用黃金分割來作曲,而且也可以從純粹的函數圖像出發來作曲. 這正是數學家約瑟夫.傅裏葉的後繼工作,也是其工作的逆過程. 其中最典型的代表人物就是20 世紀20 年代的哥倫比亞大學的數學和音樂教授約瑟夫 .希林格(JosephSchillinger) ,他曾經把紐約時報的壹條起伏不定的商務曲線描述在坐標紙上,然後把這條曲線的各個基本段按照適當的、和諧的比例和間隔轉變為樂曲,最後在樂器上進行演奏, 結果發現這竟然是壹首曲調優美、與巴赫的音樂作品極為相似的樂曲[2] !這位教授甚至認為,根據壹套準則,所有的音樂傑作都可以轉變為數學公式. 他的學生喬治 .格什溫(George Gershwin) 更是推陳出新, 創建了壹套用數學作曲的系統, 據說著名歌劇《波吉與貝絲》(Porgy and Bess) 就是他使用這樣的壹套系統創作的.
因而我們說, 音樂中出現數學、數學中存在音樂並不是壹種偶然,而是數學和音樂融和貫通於壹體的壹種體現. 我們知道音樂通過演奏出壹串串音符而把人的喜怒哀樂或對大自然、人生的態度等表現出來,即音樂抒發人們的情感, 是對人們自己內心世界的反映和對客觀世界的感觸,因而它是用來描述客觀世界的,只不過是以壹種感性的或者說是更具有個人主體色彩的方式來進行. 而數學是以壹種理性的、抽象的方式來描述世界,使人類對世界有壹個客觀的、科學的理解和認識, 並通過壹些簡潔、優美、和諧的公式來表現大自然. 因此可以說數學和音樂都是用來描述世界的,只是描述方式有所不同,但最終目的都是為人類更好地生存和發展服務,於是它們之間存在著內在的聯系應該是壹件自然而然的事.
既然數學與音樂有如此美妙的聯系,為何不讓我們沈浸在《梁祝》優美動聽的旋律中或置身於昆蟲啁啾鳴叫的田野裏靜下心來思考數學與音樂的內在聯系呢 ?為何不讓我們在錚錚琵琶聲中或令人激動的交響曲中充滿信心地對它們的內在聯系繼續探索呢 ?
上面,我們提供了壹些數學與音樂聯系的素材,如何將這些素材“加工”成為“數學教育”的內容呢?我們提出幾個問題僅供教材編寫者和在壹線工作的教師思考.
1) 如何將這樣的素材經過加工滲透到數學教學和數學教材中 ?
2) 能否把這些素材編寫成為“科普報告”, 在課外活動中,向音樂和數學愛好者報告,調查,了解,思考這樣的報告對學生的影響以及學生對這樣的報告的反映.
/Magazine/BKDD/200704/4285_2.html
http://staff.ccss.edu.hk/jckleung/jiao_cai/fibonacci.ppt#265