全微分方程是指可以被寫成形如$M(x,y)dx + N(x,y)dy=0$的方程，其中$M$和$N$是$x$和$y$的壹次多項式。
若該方程之中存在壹個恰當的函數$\varphi(x,y)$，使得方程可以被寫成$d\varphi(x,y) = 0$的形式，那麽該方程就是全微分方程，同時方程的解可以直接通過對恰當函數$\varphi(x,y)$進行求導求出。
1、判斷是否為全微分方程
若$M(x,y)? \frac{\partial}{\partial y}N(x,y) = N(x,y) \frac{\partial}{\partial x}M(x,y)$，那麽該方程有可能為全微分方程。令$f(x,y) = \int M(x,y)dx + C(y)$，$M(x,y)dx + N(x,y)dy=0$ 變為$d(f(x,y)) + C'(y)dy = 0$，因為$C'(y)dy$對$x$求偏導數得$0$，所以若此時能找到$C(y)$使得$d(f(x,y)) + C'(y)dy$恰為$0$，那麽原方程就是全微分方程。
2、求解恰當函數$\varphi(x,y)$
可以通過兩種方法來求解恰當函數：
(1) 偏導數法：$M(x,y)dx + N(x,y)dy$為全微分方程，若滿足$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}= \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$，即$M(x,y)dy - N(x,y)dx = 0$為恰當形式，則恰當函數$\varphi(x,y)$可以表示為$\varphi(x,y) = \int M(x,y)dy = \int N(x,y)dx.$
(2) 積分因子法：存在壹個非零函數$u(x,y)$，使得$u(x,y)M(x,y)dx + u(x,y)N(x,y)dy=0$為恰當形式，即可通過求解小學奧數中的乘法公式，求出積分因子$u(x,y)$。進而可以求出某個新方程，若該新方程為全微分方程，則原方程也為全微分方程。
3、求解全微分方程通解
假如已經通過上述方法求得恰當函數$\varphi(x,y)$，那麽方程的通解可以直接寫為$\varphi(x,y) = C$的形式，其中$C$是任意常數，它可以通過給定的邊界條件來確定。
需要註意的是，如果方程不是全微分方程，那麽就不能直接通過上述方法求解通解，需要考慮其他數值和符號計算方法求解。全微分方程通解的求法是通過求解恰當函數$\varphi(x,y)$，然後寫出通解$\varphi(x,y) = C$的形式。
雖然通解形式簡單，但要判斷是否滿足全微分方程和求解恰當函數都需要壹定的數學功底和技巧。需要通過理論學習和實踐運用，進壹步提高對全微分方程的掌握和應用能力。
全微分方程的由來
全微分方程是早期微積分的壹個重要研究對象，它的歷史可以追溯到17世紀。歐拉和伯努利兄弟對全微分方程的研究起到了很大的推動作用，拉普拉斯和高斯等人也對此做出了重要貢獻。全微分方程在熱力學、物理學、化學、地理等多個領域有著廣泛的應用，對於理解自然界的規律和進行科學研究具有重要的意義。