壹、教學內容分析
本小節是普通高中課程標準實驗教科書數學5(必修)第三章第3小節,主要內容是利用平面區域體現二元壹次不等式(組)的解集;借助圖解法解決在線性約束條件下的二元線性目標函數的最值與最優解問題;運用線性規劃知識解決壹些簡單的實際問題(如資源利用,人力調配,生產安排等)。突出體現了優化思想，與數形結合的思想。本小節是利用數學知識解決實際問題的典例,它體現了數學源於生活而用於生活的特性。
二、學生學習情況分析
本小節內容建立在學生學習了壹元不等式(組)及其應用、直線與方程的基礎之上，學生對於將實際問題轉化為數學問題,數形結合思想有所了解. 但從數學知識上看學生對於涉及多個已知數據、多個字母變量，多個不等關系的知識接觸尚少，從數學方法上看，學生對於圖解法還缺少認識，對數形結合的思想方法的掌握還需時日，而這些都將成為學生學習中的難點。
三、設計思想
以問題為載體，以學生為主體，以探究歸納為主要手段，以問題解決為目的，以多媒體為重要工具，激發學生的動手、觀察、思考、猜想探究的興趣。註重引導學生充分體驗?從實際問題到數學問題?的數學建模過程，體會?從具體到壹般?的抽象思維過程，從?特殊到壹般?的探究新知的過程;提高學生應用?數形結合?的思想方法解題的能力;培養學生的分析問題、解決問題的能力。
四、教學目標
1、知識與技能:了解二元壹次不等式(組)的概念,掌握用平面區域刻畫二元壹次
不等式(組)的方法;了解線性規劃的意義，了解線性約束條件、線性目標函數、
可行解、可行域和最優解等概念;理解線性規劃問題的圖解法;會利用圖解法
求線性目標函數的最值與相應最優解;
2、過程與方法:從實際問題中抽象出簡單的線性規劃問題,提高學生的數學建模能力;
在探究的過程中讓學生體驗到數學活動中充滿著探索與創造，培養學生的數據分析能力、
化歸能力、探索能力、合情推理能力;
3、情態與價值:在應用圖解法解題的過程中,培養學生的化歸能力與運用數形結合思想的能力;體會線性規劃的基本思想，培養學生的數學應用意識;體驗數學來源於生活而服務於生活的特性.
五、教學重點和難點
重點:從實際問題中抽象出二元壹次不等式(組),用平面區域刻畫二元壹次不等式組
的解集及用圖解法解簡單的二元線性規劃問題;
難點:二元壹次不等式所表示的平面區域的探究,從實際情境中抽象出數學問題的過
程探究,簡單的二元線性規劃問題的圖解法的探究.
六、教學基本流程
第壹課時,利用生動的情景激起學生求知的欲望,從中抽象出數學問題,引出二元壹次不等式(組)的基本概念,並為線性規劃問題的引出埋下伏筆.通過學生的自主探究,分類討論,大膽猜想,細心求證,得出二元壹次不等式所表示的平面區域,從而突破本小節的第壹個難點;通過例1、例2的討論與求解引導學生歸納出畫二元壹次不等式(組)所表示的平面區域的具體解答步驟(直線定界,特殊點定域);最後通過練習加以鞏固。
第二課時,重現引例,在學生的回顧、探討中解決引例中的可用方案問題,並由此歸納總結出從實際問題中抽象出數學問題的基本過程:理清數據關系(列表)?設立決策變量?建立數學關系式?畫出平面區域.讓學生對例3、例4進行分析與討論進壹步完善這壹過程,突破本小節的第二個難點。
第三課時,設計情景,借助前兩個課時所學,設立決策變量,畫出平面區域並引出新的問題,從中引出線性規劃的相關概念,並讓學生思考探究,利用特殊值進行猜測,找到最優方案;再引導學生對目標函數進行變形轉化,利用直線的圖象對上述問題進行幾何探究,把最值問題轉化為截距問題,通過幾何方法對引例做出完美的解答;回顧整個探究過程,讓學生在討論中達成***識,總結出簡單線性規劃問題的圖解法的基本步驟.通過例5的展示讓學生從動態的角度感受圖解法.最後再現情景1,並對之作出完美的解答。
第四課時,給出新的引例,讓學生體會到線性規劃問題的普遍性.讓學生討論分析,對引例給出解答,並綜合前三個課時的教學內容,連綴成線,總結出簡單線性規劃的應用性問題的壹般解答步驟,通過例6,例7的分析與展示進壹步完善這壹過程.總結線性規劃的應用性問題的幾種類型,讓學生更深入的體會到優化理論,更好的認識到數學來源於生活而運用於生活的特點。
七、教學過程設計
第壹課時: 二元壹次不等式組與平面區域(1)
(壹)引入:
(1)情景1
王老漢的疑惑:秋收過後,村中擁入了不少生意人,收購大豆與紅薯,精明的王老漢上了心,壹打聽,頓時喜上眉梢.村中大豆的收購價是5元/千克,紅薯的收購價是
2元/千克,而送到縣城每千克大豆可獲利1.2元,每千克紅薯可獲利0.6元,王老漢決定明天就帶上家中僅有的1000元現金,踏著可載重350千克的三輪車開始自己的發財大計,可明天應該收購多少大豆與紅薯呢?王老漢決定與家人合計.回家壹討論,問題來了.孫女說:?收購大豆每千克獲利多故應收購大豆?,孫子說:?收購紅薯每元成本獲利多故應收購紅薯?,王老漢壹聽,好像都對,可誰說得更有理呢?精明的王老漢心中更糊塗了。
問題情景使學生感受到數學是來自現實生活的，讓學生體會從實際問題中抽象出數學問題的過程;通過情景我們不僅能從中引出本堂課的內容?二元壹次不等式(組)的概念,及其所表示的平面區域?,也為後面的內容?簡單的線性規劃問題?埋下了伏筆.
(2)問題與探究
師:同學們,妳們能用具體的數字體現出王老漢的兩個孫子的收購方案嗎?
生,討論並很快給出答案.(師,記錄數據)
師:請妳們各自為王老漢設計壹種收購方案.
生,獨立思考,並寫出自己的方案.(師,查看學生各人的設計方案並有針對性的請幾個同學說出自己的方案並記錄,註意:要特意選出2個不合理的方案)
師:這些同學的方案都是對的嗎?
生,討論並找出其中不合理的方案.
師:為什麽這些方案就不行呢?
生,討論後並回答
師:滿足什麽條件的方案才是合理的呢?
生,討論思考.(師,引導學生設出未知量,列出起約束作用的不等式組)
師,讓幾個學生上黑板列出不等式組,並對之分析指正
(教師用多媒體展示所列不等式組,並介紹二元壹次不等式,二元壹次不等式組的概念.)
師:同學們還記得什麽是方程的解嗎?妳能說出二元壹次方程二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 的壹組解嗎?
生,討論並回答(教師記錄幾組,並引導學生表示成有序實數對形式.)
師:同學們能說出什麽是不等式(組)的解嗎?妳能說出二元壹次不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 的壹組解嗎?
生,討論並回答(教師對於學生的回答指正並有選擇性的記錄幾組比較簡單的數據,對於這些數據要事先設計好並在課件的坐標系中標出備用)
(教師對引例中給出的不等式組介紹,並指出上面的正確的設計方案都是不等式組的解.進而介紹二元壹次不等式(組)解與解集的概念)
師:我們知道每壹組有序實數對都對應於平面直角坐標系上的壹個點,妳能把上面記錄的不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 的解在平面直角坐標系上標記出來嗎?
生,討論並在下面作圖(師巡視檢查並對個別同學的錯誤進行指正)
師,利用多媒體課件展示平面直角坐標系及不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 的解所對應的壹些點,讓學生觀察並思考討論:不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 的解在平面直角坐標系中的位置有什麽特點?(由於點太少,我們的學生可能得不出結論)
師,引導學生在同壹平面直角坐標系中畫出方程二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 的解所對應的圖形(壹條直線,指導學生用與坐標軸的兩個交點作出直線),再提出問題:二元壹次不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 的解為坐標的點在平面直角坐標系中的位置有什麽特點?
生,提出猜想:直線二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 分得的左下半平面.
教師通過幾個簡單的問題,讓學生產生了利用平面區域表示二元壹次不等式的想法,而後再讓學生大膽的猜想,細心的論證,讓他們從中讓體會到對新知識進行科學探索的全過程.
師:這個結論正確嗎?妳能說出理由來嗎?
生,分組討論,並利用自己的數學知識去探究.(由於沒有給出壹個固定的方向,所以各人用的方法不壹,有的可能用特殊點再去檢驗,有的可能會試著用坐標軸的正方向去說明,也有的可能會用直線二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 下方的點與對應直線上的點對照比較的方法進行說明)
師,在巡視的基礎上請運用不同方法的同學闡述自己的理由,並對於正確的作法給予表揚,然後用多媒體展示出利用與直線二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 橫坐標相同而縱坐標不同的點對應分析的方法進行證明.
師:直線二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 的右上半平面應怎麽表示?
生:表示為二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 ,(很快回答)
師: 從中妳能得出什麽結論?
生,討論並得到壹般性結論(教師總結糾正)
(教師總結並用多媒體展示,二元壹次不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 表示直線二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 的某側所有點組成的平面區域,因不包含邊界故直線畫成虛線;二元壹次不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 表示的平面區域因包含邊界故直線畫成實線.)
師:點O(0,0)是不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 壹個解嗎?據此妳能說出不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 對應的平面區域相對與直線二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 的位置嗎?
生,作圖分析，討論並回答(師,對學生的回答進行分析)
師:結合上面問題請同學們歸納出作不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 對應的平面區域的過程.
生,討論並回答(師,對於學生的答案給以分析,並肯定其中正確的結論)
師:妳們能說出作二元壹次不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 對應的平面區域的過程嗎?
生,討論並回答(教師總結並用多媒體展示:直線定界,特殊點定域)
師:若點P(3,-1),點Q(2,4)在直線二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 的異側,妳能用數學語言表示嗎?
生,討論,思考(教師巡視，並觀察學生的解答過程，最後引導學生得出：壹個是不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 的解,壹個是不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 的解)
師:妳能在這個條件下求出二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 的範圍嗎?
生.討論分析，最後得到不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 並求解.
師:若把上面問題改為點在同側呢?請同學們課後完成.
在教師的幫助下學生通過自己的分析得出了正確的結論,讓他們從中體會到了獲取新知後的成就感,從而增加了對數學的學習興趣.同時也讓他們體會人們在認識新生事物時從特殊到壹般,再從壹般到特殊的認知過程.
(二)實例展示:
例1、畫出不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 表示的平面區域.
例2、用平面區域表示不等式組二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 的解集.
通過利用多媒體對實例的展示讓學生體會到畫出不等式表示的平面區域的基本流程:直線定界,特殊點定域,而不等式(組)表示的平面區域是各個不等式表示的平面區域的公***部分.同時對具體作圖中的細節問題進行點拔.
(三)練習:
學生練習P86第1-3題.
及時鞏固所學,進壹步體會畫出不等式(組)表示的平面區域的基本流程
(四)課後延伸:
師:我們在今天主要解決了在給出不等式(組)的情況下如何用平面區域來表示出來的問題. 如果反過來給出了平面區域妳能寫出相關的不等式(組)嗎?例如妳能寫出A(2,4),B(2,0),C(1,2)三點構成的三角形內部區域對應的不等式組嗎?
妳能寫出不等式形如二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 這種不等式表示的平面區域?
(五)小結與作業:
二元壹次不等式二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 表示直線二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 某側所有點組成的平面區域,畫出不等式(組)表示的平面區域的基本流程:直線定界,特殊點定域(壹般找原點)
作業：第93頁A組習題1、2，
補充作業:若線段PQ的兩個端點坐標為P(3,-1), Q(2,4),且直線二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題的模塊單元教學設計 與線段PQ
高中數學必修5《二元壹次不等式(組)與簡單的線性規劃問題》教案知識網絡
1、二元壹次不等式組以及可化成二元壹次不等式組的不等式的解法;
2、作二元壹次不等式組表示的平面區域，會求最值;
3、線性規劃的實際問題和其中的整點問題。
典型例題
例1：(1)已知點p(x0，y0)和點a(1，2)在直線 的異側，則( )
a. b. 0
c. d.
答案: d。解析：將(1，2)代入 得小於0，則 。
(2)滿足 的整點的點(x，y)的個數是 ( )
a.5 b.8 c.12 d.13
答案：d。解析：作出圖形找整點即可。
(3)不等式(x-2y+1)(x+y-3)?0表示的平面區域是 ( )
答案：c。解析：原不等式等價於
兩不等式表示的平面區域合並起來即是原不等式表示的平面區域.
(4)設實數x, y滿足 ，則 的最大值為 .
答案: 。解析：過點 時， 有最大值 。
(5)已知 ，求 的取值範圍 .
答案： 。解析：過點 時有最小值5，過點(3，1)時有最大值10。
例2：試求由不等式y?2及|x|?y?|x|+1所表示的平面區域的面積大小.
答案: 解：原不等式組可化為如下兩個不等式組：
① 或 ②
上述兩個不等式組所表示的平面區域為如圖所示的陰影部分.
它所圍成的面積s= ?4?2- ?2?1=3.
例3：已知函數f(x)和g(x)的圖象關於原點對稱，且f(x)=x2+2x.
(ⅰ)求函數g(x)的解析式;
(ⅱ)若h(x)=g(x)- f(x)+1在[-1，1]上是增函數，求實數 的取值範圍。
答案: (ⅰ)設函數 的圖象上任意壹點 關於原點的對稱點為 ，則
∵點 在函數 的圖象上
?
(ⅱ)
①
②
ⅰ)
ⅱ)
例4：要將兩種大小不同的鋼板截成a、b、c三種規格，每張鋼板可同時截得三種規格的小鋼板的塊數如下表所示：
今需要a、b、c三種規格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規格成品，且使所用鋼板張數量少?
答案:：設需截第壹種鋼板x張，第二種鋼板y張，則
且x，y都是整數.
求目標函數z=x+y取得最小值時的x，y的值.
如圖，當x=3，y=9或x=4，y=8時，z取得最小值.
?需截第壹種鋼板3張，第二種鋼板9張或第壹種鋼
板4張，第二種鋼板8張時，可得所需三種規格成品，且使所用鋼板張數最少.
課內練習
略