解：
思路壹：
利用壹元方程的性質，結合同余的性質，還可以換元，對方程先作些簡化，減少計算過程，也算是壹個簡化。
如X^4+3X^3-X^2+X+1=x(x+1)^3-4xx+1=...
思路二：
此外，在代入時，先建立壹個方冪模余表(範德蒙矩陣或其轉置)，可以結合腦眼結合，快速心算。對這個矩陣的整體或部分進行模余研究,可能會帶得新的好的解法或算法。
本題相關表陣如下：矩陣元a(i,j)=j^i mod 7
1 2 3 4 5 6
1 4 2 2 4 1
1 1 6 1 6 6
1 2 4 4 2 1
如X^4+3X^3-X^2+X+1=x(x+1)^3-4xx+1=...
素材參考：
對於高次剩余，柯召·孫琦《數論講義II》中有相關內容。圖書館找找資料。電子書，我有。
圖書館內必定還有其它相關資料，有空研讀下。
還有其它方法的，有很多專業論文，沒有公開。我曾經有些個人心得，還待整理，暫從略。
祝願：
祝妳在數論學習與研究中獲得成果。