壹道經典的面試題：如何從N個數中選出最大（小）的n個數？

這個問題我前前後後考慮了有快壹年了，也和不少人討論過。據我得到的消息，Google和微軟都面過這道題。這道題可能很多人都聽說過，或者知道答案（所謂的堆），不過我想把我的答案寫出來。我的分析也許存有漏洞，以交流為目的。但這是壹個滿復雜的問題，蠻有趣的。看完本文，也許會啟發妳壹些沒有想過的解決方案（我壹直認為堆也許不是最高效的算法）。在本文中，將會壹直以尋找n個最大的數為分析例子，以便統壹。註：本文寫得會比較細節壹些，以便於絕大多數人都能看懂，別嫌我羅嗦:) 我很不確定多少人有耐心看完本文！Naive 方法：首先，我們假設n和N都是內存可容納的，也就是說N個數可以壹次load到內存裏存放在數組裏（如果非要存在鏈表估計又是另壹個challenging的問題了）。從最簡單的情況開始，如果n=1，那麽沒有任何疑惑，必須要進行N-1次的比較才能得到最大的那個數，直接遍歷N個數就可以了。如果n=2呢？當然，可以直接遍歷2遍N數組，第壹遍得到最大數max1，但是在遍歷第二遍求第二大數max2的時候，每次都要判斷從N所取的元素的下標不等於max1的下標，這樣會大大增加比較次數。對此有壹個解決辦法，可以以max1為分割點將N數組分成前後兩部分，然後分別遍歷這兩部分得到兩個最大數，然後二者取壹得到max2。也可以遍歷壹遍就解決此問題，首先維護兩個元素max1，max2（max1=max2），取到N中的壹個數以後，先和max1比，如果比max1大（則肯定比max2大），直接替換max1，否則再和max2比較確定是否替換max2。采用類似的方法，對於n=2，3，4壹樣可以處理。這樣的算法時間復雜度為O（nN）。當n越來越大的時候（不可能超過N/2，否則可以變成是找N-n個最小的數的對偶問題），這個算法的效率會越來越差。但是在n比較小的時候（具體多小不好說），這個算法由於簡單，不存在遞歸調用等系統損耗，實際效率應該很不錯.堆：當n較大的時候采用什麽算法呢？首先我們分析上面的算法，當從N中取出壹個新的數m的時候，它需要依次和max1，max2，max3max n比較，壹直找到壹個比m小的max x，就用m來替換max x，平均比較次數是n/2。可不可以用更少的比較次數來實現替換呢？最直觀的方法是，也就是網上文章比較推崇的堆。堆有這麽壹些好處：1.它是壹個完全二叉樹，樹的深度是相同節點的二叉樹中最少的，維護效率較高；2.它可以通過數組來實現，而且父節點p與左右子節l，r點的數組下標的關系是s[l] = 2*s[p]+1和s[r] = 2*s[p]+2。在計算機中2*s[p]這樣的運算可以用壹個左移1位操作來實現，十分高效。再加上數組可以隨機存取，效率也很高。3.堆的Extract操作，也就是將堆頂拿走並重新維護堆的時間復雜度是O（logn），這裏n是堆的大小。具體到我們的問題，如何具體實現呢？首先開辟壹個大小為n的數組區A，從N中讀入n個數填入到A中，然後將A維護成壹個小頂堆（即堆頂A[0]中存放的是A中最小的數）。然後從N中取出下壹個數，即第n+1個數m，將m與堆頂A[0]比較，如果m<=A[0]，直接丟棄m。否則應該用m替換A[0]。但此時A的堆特性可能已被破壞，應該重新維護堆：從A[0]開始，將A[0]與左右子節點分別比較（特別註意，這裏需要比較兩次才能確定最大數，在後面我會根據這個來和敗者樹比較），如果A[0]比左右子節點都小，則堆特性能夠保證，勿需繼續，否則如左（右）節點最大，則將A[0]與左（右）節點交換，並繼續維護左（右）子樹。依次執行，直到遍歷完N，堆中保留的n個數就是N中最大的n個數。這都是堆排序的基本知識，唯壹的trick就是維護壹個小頂堆，而不是大頂堆。不明白的稍微想壹下。維護壹次堆的時間復雜度為O（logn），總體的復雜度是O（Nlogn）這樣壹來，比起上面的O（nN），當n足夠大時，堆的效率肯定是要高壹些的。當然，直接對N數組建堆，然後提取n次堆頂就能得到結果，而且其復雜度是O（nlogN）,當n不是特別小的時候這樣會快很多。但是對於online數據就沒辦法了，比如N不能壹次load進內存，甚至是壹個流，根本不知道N是多少。敗者樹：有沒有別的算法呢？我先來說壹說敗者樹（loser tree）。也許有些人對loser tree不是很了解，其實它是壹個比較經典的外部排序方法，也就是有x個已經排序好的文件，將其歸並為壹個有序序列。敗者樹的思想咋壹看有些繞，其實是為了減小比較次數。首先簡單介紹壹下敗者樹：敗者樹的葉子節點是數據節點，然後兩兩分組（如果節點總數不是2的冪，可以用類似完全樹的結構構成樹），內部節點用來記錄左右子樹的優勝者中的敗者（註意記錄的是輸的那壹方），而優勝者則往上傳遞繼續比較，壹直到根節點。如果我們的優勝者是兩個數中較小的數，則根節點記錄的是最後壹次比較中的敗者，也就是所有葉子節點中第二小的那個數，而最小的那個數記錄在壹個獨立的變量中。這裏要註意，內部節點不但要記錄敗者的數值，還要記錄對應的葉子節點。如果是用鏈表構成的樹，則內部節點需要有指針指向葉子節點。這裏可以有壹個trick，就是內部節點只記錄敗者對應的葉子節點，具體的數值可以在需要的時候間接訪問（這壹方法在用數組來實現敗者樹時十分有用，後面我會講到）。關鍵的來了，當把最小值輸出後，最小值所對應的葉子節點需要變成壹個新的數（或者改為無窮大，在文件歸並的時候表示文件已讀完）。接下來維護敗者樹，從更新的葉子節點網上，依次與內部節點比較，將敗者更新，勝者往上繼續比較。由於更新節點占用的是之前的最小值的葉子節點，它往上壹直到根節點的路徑與之前的最小值的路徑是完全相同的。內部節點記錄的敗者雖然稱為敗者，但卻是其所在子樹中最小的數。也就是說，只要與敗者比較得到的勝者，就是該子樹中最小的那個數（這裏講得有點繞了，看不明白的還是找本書看吧，對照著圖比較容易理解）。註：也可以直接對N構建敗者樹，但是敗者樹用數組實現時不能像堆壹樣進行增量維護，當葉子節點的個數變動時需要完全重新構建整棵樹。為了方便比較堆和敗者樹的性能，後面的分析都是對n個數構建的堆和敗者樹來分析的。總而言之，敗者樹在進行維護的時候，比較次數是logn+1。與堆不同的是，敗者樹是從下往上維護，每上壹層，只需要和敗者節點比較壹次即可。而堆在維護的時候是從上往下，每下壹層，需要和左右子節點都比較，需要比較兩次。從這個角度，敗者樹比堆更優壹些。但是，請註意但是，敗者樹每壹次維護必定需要從葉子節點壹直走到根節點，不可能中間停止；而堆維護時，有可能會在中間的某個層停止，不需要繼續往下。這樣壹來，雖然每壹層敗者樹需要的比較次數比堆少壹倍，但是走的層數堆會比敗者樹少。具體少多少，從平均意義上到底哪壹個的效率會更好壹些？那我就不知道了，這個分析起來有點麻煩。感興趣的人可以嘗試壹下，討論討論。但是至少說明了，也許堆並非是最優的。具體到我們的問題。類似的方法，先構建壹棵有n個葉子節點的敗者樹，勝出者w是n個中最小的那壹個。從N中讀入壹個新的數m後，和w比較，如果比w小，直接丟棄，否則用m替換w所在的葉子節點的值，然後維護該敗者樹。依次執行，直到遍歷完N，敗者樹中保留的n個數就是N中最大的n個數。時間復雜度也是O（Nlogn）類快速排序方法：快速排序大家大家都不陌生了。主要思想是找壹個軸節點，將數列交換變成兩部分，壹部分全都小於等於軸，另壹部分全都大於等於軸，然後對兩部分遞歸處理。其平均時間復雜度是O（NlogN）。從中可以受到啟發，如果我們選擇的軸使得交換完的較大那壹部分的數的個數j正好是n，不也就完成了在N個數中尋找n個最大的數的任務嗎？當然，軸也許不能選得這麽恰好。可以這麽分析，如果jn，則最大的n個數肯定在這j個數中，則問題變成在這j個數中找出n個最大的數；否則如果j<n，則這j個數肯定是n個最大的數的壹部分，而剩下的j-n個數在小於等於軸的那壹部分中，同樣可遞歸處理。需要註意的是，這裏的時間復雜度是平均意義上的，在最壞情況下，每次分割都分割成1：N-2，這種情況下的時間復雜度為O（n）。但是我們還有殺手鐧，可以有壹個在最壞情況下時間復雜度為O（N）的算法，這個算法是在分割數列的時候保證會按照比較均勻的比例分割，at least 3n/10-6。具體細節我就不再說了，感興趣的人參考算法導論（Introduction to Algorithms 第二版第九章 Medians and Orders Statistics）。還是那個結論，堆不見得會是最優的。本文快要結束了，但是還有壹個問題：如果N非常大，存放在磁盤上，不能壹次裝載進內存呢？怎麽辦？對於介紹的Naive方法，堆，敗者樹等等，依然適用，需要註意的就是每次從磁盤上盡量多讀壹些數到內存區，然後處理完之後再讀入壹批。減少IO次數，自然能夠提高效率。而對於類快速排序方法，稍微要麻煩壹些：分批讀入，假設是M個數，然後從這M個數中選出n個最大的數緩存起來，直到所有的N個數都分批處理完之後，再將各批次緩存的n個數合並起來再進行壹次類快速排序得到最終的n個最大的數就可以了。在運行過程中，如果緩存數太多，可以不斷地將多個緩存合並，保留這些緩存中最大的n個數即可。由於類快速排序的時間復雜度是O（N），這樣分批處理再合並的辦法，依然有極大的可能會比堆和敗者樹更優。當然，在空間上會占用較多的內存。總結：對於這個問題，我想了很多，但是覺得還有壹些地方可以繼續深挖：1. 堆和敗者樹到底哪壹個更優？可以通過理論分析，也可以通過實驗來比較。也許會有人覺得這個很無聊；2. 有沒有近似的算法或者概率算法來解決這個問題？我對這方面實在不熟悉，如果有人有想法的話可以壹塊交流。如果有分析錯誤或遺漏的地方，請告知，我不怕丟人，呵呵！最後請時刻謹記，時間復雜度不等於實際的運行時間，壹個常數因子很大的O（logN）算法也許會比常數因子小的O（N）算法慢很多。所以說，n和N的具體值，以及編程實現的質量，都會影響到實際效率。