基本假定
人口增長率僅依賴當時的人口數量而與其他時間因素無關的假設可由(dp/dt)/p=f(p),...(*)
p(t)代表t時刻人口數量.
關於邏輯斯蒂方程
假設壹個環境能容納不多於數量k的人口,k稱為這個環境的承載能力(carrying capacity),
於是對於(*)有 f(k)=0 為簡單起見取f(0)=r 假定f(p)為線性函數
易得到 f(p)=r-(r/k)p 則(*)可變為
dp/dt=p[r-(r/k)p]...(**)
等價於 dp/dt=p(a-bp)...(***)
1840年前後,比利時數學家和生物學家P.E.Verhulst利用這壹模型預測了壹些國家的人口數量.他的研究中就有(***)其中a,b>0.該方程稱為邏輯斯蒂方程,它的解稱為邏輯斯蒂函數,邏輯斯蒂函數圖像稱為邏輯斯蒂曲線.
當人口數量很大或過於擁擠時,人口會對環境造成有害的影響,而對食物、能源的競爭也對人口的增長產生了消極影響,所以微分方程dp/dt=kp並不能準確地描述人口模型,現在可以看到當t→∞,(***)的解是有界的.如果我們將(***)改寫為dp/dt=ap-ap^2,則非線性項-bp^2,b>0可以理解為抑制或競爭項,在大多數實際應用中,a會遠遠大於b.
邏輯斯蒂曲線已經被證明可以非常準確的預測在有限空間中的增長形式,如細菌、原生動物、水蚤、果蠅等.
運用分離變量法可求的(***)的解為
p(t)=aC1/[bC1+e^(-at)]
如果p(0)=p0,p0≠a/b,可得C1=p0/(a-bp0)
p(t)=ap0/[bp0+(a-bp0)e^(-at)]...(****)
關於邏輯斯蒂曲線(p(t)的圖像)
在應用時很少考慮t<0的情況,但我們也無妨給出p(t)在t<0的圖像
由(****)可得t→+∞,p(t)=a/b;t→-∞,p(t)=0
註意到d?p/dt?=2b?p[p-(a/b)][p-(a/2b)]
可知滿足d?p/dt?=0可能是p(t)的拐點,而p=0及p=a/b顯然排除在外.所以p=a/(2b)是圖像唯壹可能改變凹凸性的地方.
當0<p<a/(2b)時,p">0;上凹
當a/(2b)<p<a/b時,p"<0;下凹
所以圖像以p=a/(2b)為界,從左到右由上凹變為下凹.
p(t)圖像為S形.