三角函數誰發明的？

歷史表明，重要數學概念對數學發展的作用是不可估量的，函數概念對數學發展的影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數概念的歷史發展，看壹看函數概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是壹件十分有益的事情，它不僅有助於我們提高對函數概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領悟數學概念對數學發展，數學學習的巨大作用．（壹）馬克思曾經認為，函數概念來源於代數學中不定方程的研究．由於羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當研究，所以函數概念至少在那時已經萌芽．自哥白尼的天文學革命以後，運動就成了文藝復興時期科學家***同感興趣的問題，人們在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自轉和公轉，那麽下降的物體為什麽不發生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運行的軌道是橢圓，原理是什麽?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達到的高度，以及炮彈速度對於高度和射程的影響等問題，既是科學家的力圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題，函數概念就是從運動的研究中引申出的壹個數學概念，這是函數概念的力學來源．（二）早在函數概念尚未明確提出以前，數學家已經接觸並研究了不少具體的函數，比如對數函數、三角函數、雙曲函數等等．1673年前後笛卡兒在他的解析幾何中，已經註意到了壹個變量對於另壹個變量的依賴關系，但由於當時尚未意識到需要提煉壹般的函數概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數學家還沒有明確函數的壹般意義． 1673年，萊布尼茲首次使用函數壹詞表示“冪”，後來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量．由此可以看出，函數壹詞最初的數學含義是相當廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用另壹名詞“流量”來表示變量間的關系，直到1689年，瑞士數學家約翰·貝努裏才在萊布尼茲函數概念的基礎上，對函數概念進行了明確定義，貝努裏把變量x和常量按任何方式構成的量叫“x的函數”，表示為yx. 當時，由於連接變數與常數的運算主要是算術運算、三角運算、指數運算和對數運算，所以後來歐拉就索性把用這些運算連接變數x和常數c而成的式子，取名為解析函數，還將它分成了“代數函數”與“超越函數”． 18世紀中葉，由於研究弦振動問題，達朗貝爾與歐拉先後引出了“任意的函數”的說法．在解釋“任意的函數”概念的時候，達朗貝爾說是指“任意的解析式”，而歐拉則認為是“任意畫出的壹條曲線”．現在看來這都是函數的表達方式，是函數概念的外延．（三）函數概念缺乏科學的定義，引起了理論與實踐的尖銳矛盾．例如，偏微分方程在工程技術中有廣泛應用，但由於沒有函數的科學定義，就極大地限制了偏微分方程理論的建立．1833年至1834年，高斯開始把註意力轉向物理學．他在和W·威伯爾合作發明電報的過程中，做了許多關於磁的實驗工作，提出了“力與距離的平方成反比例”這個重要的理論，使得函數作為數學的壹個獨立分支而出現了，實際的需要促使人們對函數的定義進壹步研究．後來，人們又給出了這樣的定義：如果壹個量依賴著另壹個量，當後壹量變化時前壹量也隨著變化，那麽第壹個量稱為第二個量的函數．“這個定義雖然還沒有道出函數的本質，但卻把變化、運動註入到函數定義中去，是可喜的進步．” 在函數概念發展史上，法國數學家富裏埃的工作影響最大，富裏埃深刻地揭示了函數的本質，主張函數不必局限於解析表達式．1822年，他在名著《熱的解析理論》中說，“通常，函數表示相接的壹組值或縱坐標，它們中的每壹個都是任意的……，我們不假定這些縱坐標服從壹個***同的規律；他們以任何方式壹個挨壹個．”在該書中，他用壹個三角級數和的形式表達了壹個由不連續的“線”所給出的函數．更確切地說就是，任意壹個以2π為周期函數，在〔－π，π〕區間內，可以由表示出，其中富裏埃的研究，從根本上動搖了舊的關於函數概念的傳統思想，在當時的數學界引起了很大的震動．原來，在解析式和曲線之間並不存在不可逾越的鴻溝，級數把解析式和曲線溝通了，那種視函數為解析式的觀點終於成為揭示函數關系的巨大障礙．通過壹場爭論，產生了羅巴切夫斯基和狄裏克萊的函數定義． 1834年，俄國數學家羅巴切夫斯基提出函數的定義：“x的函數是這樣的壹個數，它對於每個x都有確定的值，並且隨著x壹起變化．函數值可以由解析式給出，也可以由壹個條件給出，這個條件提供了壹種尋求全部對應值的方法．函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的．”這個定義建立了變量與函數之間的對應關系，是對函數概念的壹個重大發展，因為“對應”是函數概念的壹種本質屬性與核心部分． 1837年，德國數學家狄裏克萊（Dirichlet）認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，所以他的定義是：“如果對於x的每壹值，y總有完全確定的值與之對應，則y是x的函數．” 根據這個定義，即使像如下表述的，它仍然被說成是函數（狄裏克萊函數）： f（x）= 1 （x為有理數）， 0 （x為無理數）．在這個函數中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1．在無論怎樣小的區間裏，f（x）無限止地忽0忽1．因此，它難用壹個或幾個式子來加以表示，甚至究竟能否找出表達式也是壹個問題．但是不管其能否用表達式表示，在狄裏克萊的定義下，這個f（x）仍是壹個函數．狄裏克萊的函數定義，出色地避免了以往函數定義中所有的關於依賴關系的描述，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受．至此，我們已可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義．（四）生產實踐和科學實驗的進壹步發展，又引起函數概念新的尖銳矛盾，本世紀20年代，人類開始研究微觀物理現象．1930年量子力學問世了，在量子力學中需要用到壹種新的函數——δ-函數，即ρ（x）＝ 0，x≠0， ∞,x=0．且 δ-函數的出現，引起了人們的激烈爭論．按照函數原來的定義，只允許數與數之間建立對應關系，而沒有把“∞”作為數．另外，對於自變量只有壹個點不為零的函數，其積分值卻不等於零，這也是不可想象的．然而，δ-函數確實是實際模型的抽象．例如，當汽車、火車通過橋梁時，自然對橋梁產生壓力．從理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點只有壹個，設車輛對軌道、橋面的壓力為壹單位，這時在接觸點x=0處的壓強是 P（0）=壓力／接觸面=1／0=∞．其余點x≠0處，因無壓力，故無壓強，即 P（x）=0.另外，我們知道壓強函數的積分等於壓力，即函數概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發展，產生了新的現代函數定義：若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義壹個函數，記為y=f（x）.元素x稱為自變元，元素y稱為因變元．函數的現代定義與經典定義從形式上看雖然只相差幾個字，但卻是概念上的重大發展，是數學發展道路上的重大轉折，近代的泛函分析可以作為這種轉折的標誌，它研究的是壹般集合上的函數關系．函數概念的定義經過二百多年來的錘煉、變革，形成了函數的現代定義，應該說已經相當完善了．不過數學的發展是無止境的，函數現代定義的形式並不意味著函數概念發展的歷史終結，近二十年來，數學家們又把函數歸結為壹種更廣泛的概念—“關系”．設集合X、Y，我們定義X與Y的積集X×Y為 X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．積集X×Y中的壹子集R稱為X與Y的壹個關系，若（x,y）∈R，則稱x與y有關系R，記為xRy.若（x,y）R，則稱x與y無關系．現設f是X與Y的關系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那麽稱f為X到Y的函數．在此定義中，已在形式上回避了“對應”的術語，全部使用集合論的語言了．從以上函數概念發展的全過程中，我們體會到，聯系實際、聯系大量數學素材，研究、發掘、拓廣數學概念的內涵是何等重要．